dove si è posto 
1 1 r Il 
giga È) per KS 
è 
1 1 P 1 
Ri — coth (4) por K=— PI 
La S, è quindi una superficie a curvatura costante negativa % = — È e sopra 
di esse le linee «= cost'* formano un sistema di geodetiche parallele. Lo stesso può 
ripetersi per la 2* falda Ss, scambiando % con v e wi, con ws». 
Supponiamo ora inversamente di prendere nello spazio curvo una superficie pseudo- 
sferica qualunque di curvatura X =——; e consideriamo sopra di essa un sistema co! 
R? 
di linee geodetiche 9 parallele. La S, può considerarsi come una falda della evoluta 
di una superficie X (n. 7) le cui normali sono le tangenti delle geodetiche scelte 
sopra S e i cui raggi principali di curvatura sono legati dalla relazione, che si ottiene 
dalla (9) o (9°) facendovi LR: . Questa relazione è adunque 
09 R 
DR De LL ; Gb roll 
coè ( Pa per (Saune 
1 ww) 1 | dl 
c ta( | Ro DA = d 
Ora, per quanto si è detto sopra, anche la 2* falda S; dell’evoluta, che diremo 
la complementare di S,, sarà una superficie pseudosferica colla curvatura X = — Da 
Tenendo conto delle osservazioni precedenti, siamo condotti a formulare questo risul- 
tato nel modo seguente : 
ì AA i IAU 
Sia S una superficie a curvatura costante negativa ke=— pe, immersa nello 
LIE) 1 ; : 
spazio di Riemann a curvatura Ke: o n quello di Lobatschewsky a cur- 
1 i E 
vatura Era Se sopra S tracciamo un sistema co di geodetiche parallele 
e sulle tangenti a queste geodetiche stacchiamo, a partire dal punto di contatto e 
nel senso del parallelismo, un segmento di lunghezza costante x; data dalle formole 
. R n) 1 
(11) p= 4 arc sen (=) per K=+ vo) 
1 
sli = tt h "=; = — — 3 
(11') r=asettsen (= 2) per K 3 
il luogo degli estremi dei segmenti sarà una nuova superficie colla medesima cur- 
vatura costante r=-3 . 
Come si vede, per lo spazio di Riemann la costruzione è sempre reale: per lo 
spazio di Lobatschewsky invece essa è reale soltanto (a causa della (11’)) quando! 
