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a>R, cioè quando la curvatura dello spazio è inferiore in valore assoluto a quella 
della superficie. In altre parole si può dire che la trasformazione complementare con- 
serva, per le superficie pseudosferiche, un significato reale, finchè la loro curvatura 
relativa (n. 4) si mantiene negativa. 
$S II. 
Sistemi ciclici di Ribaucour. 
9. Ogni superficie pseudosferica dello spazio di Riemann o di Lobatschewsky (in 
quest'ultimo caso colla limitazione sopra avvertita) ammette una serie co! di super- 
ficie pseudosferiche complementari. Andiamo ora a dimostrare che questa serie di super- 
ficie fa parte, come nello spazio euclideo, di un sistema triplo di superficie ortogonali (4). 
Per questo premettiamo l'osservazione generale seguente. Sia X una superficie 
evolvente e S,, Ss le due falde della evoluta. La normale in un punto M qualunque 
di X tocca la 12 falda S, nel 1° centro di curvatura M, e la 2* falda Ss: nel 2° cen- 
tro M,. Lo stesso ragionamento, che si fa nel caso dello spazio piano, prova che il 
piano tangente in M, alla S, è il piano della retta M, M: e della tangente in M 
alla 22 linea di curvatura di X; similmente il piano di M, M, e della tangente in M 
alla 12 linea di curvatura di X tocca in M, la Ss. Questi due piani si tagliano dunque 
ortogonalmente lungo la retta M, M,. 
Ora sia Si una superficie pseudosferica e Ss una sua complementare, sia M, un 
punto qualunque di S, e M, il corrispondente di S,. Siccome S,, Ss formano insieme 
l’evoluta completa di una superficie X (n. 8), di cui M,, M sono due centri corri- 
spondenti di curvatura, da quanto si è visto sopra segue che la normale in M, alla 
S, è diretta nel piano tangente in M, alla S, normalmente alla M, M;. In altre 
parole il circolo tracciato nel piano tangente in M, alla Si, col centro in M, e col 
raggio eguale a M, M, è normale in My; alla $3. Possiamo quindi definire le 00! tra- 
sformate complementari della superficie pseudosferica S, anche nel modo seguente : 
In ciascun piano tangente della superficie Sx tracciamo un circolo, col centro 
nel punto di contatto e col raggio costante r dato dalla (11) 0 (11°). Questo si- 
stema x* di circoli ammette una serie co! di superficie X ortogonali, che sono le 
superficie pseudosferiche complementari della Sx . 
10. Indichiamo con X le co! superficie complementari di una superficie pseudo- 
sferica S, ortogonali ai circoli del n. precedente, con X,, 2 le superficie luogo dei 
detti circoli quando il loro centro si sposta lungo una linea di curvatura = cost! 
di un sistema o lungo una linea v = costt° dell'altro sistema della superficie S. 
Dimostreremo che le superficie X, X,, 2> costituiscono un sistema triplo orto- 
gonale. Le superficie X,, X» sono evidentemente ortogonali alle X, sicchè basta pro- 
vare che esse sono ortogonali fra loro. Ora se consideriamo due superficie una del 
sistema X;, l’altra del sistema XY, esse si tagliano lungo un circolo C di raggio = 7, 
tracciato in un piano tangente della superficie S, col centro nel punto M di contatto. 
Se M,, M, sono i due centri di curvatura della S sulla normale in M ed N è un 
() Cf. la mia Nota 12 sui sistemi ciclici. Giornale di Napoli, vol. XXI. 
