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punto qualunque sul circolo C, come al n. 3 della Nota citata al n. 9, si dimostra 
che le normali in N alle X,, XY: sono rispet- 
tivamente le congiungenti geodetiche di N con 
M,, M3. Basta dunque provare che l’angolo 
MNM; è retto. 
Se congiungiamo geodeticamente M con N, 
formeremo due triangoli geodetici NMM,, 
NMM, rettangoli in M, pei quali, se per fissare 
le idee supponiamo K=-+ n valgono le for- 
mole della trigonometria sferica sopra una sfera 
di raggio = a. 
Ora abbiamo 
(MM,)=w, (MM.)=—w., (MN)=r, 
ove (MM), (MM.), (MN) indicano le lun- 
ghezze assolute dei rispettivi segmenti e si è supposto w, positivo, ws negativo in 
armonia colla formola (7a) n. 4 la quale ci dà : 
a 
S\a) 5\a GAS 
Dai triangoli rettangoli suddetti, segue, per le formole della trigonometria sferica: 
Wii __ P i A 
(2) sn(<) tg (MNM) 
DO, fp Di 
tg (1) = — sen (1) - tg (M, N M) 
e moltiplicando queste fra loro, coll'osservare la formola superiore e la (11), si ha: 
(h \ 
te(M NM) te(MNM)=1. 
A N N 
Gli angoli MNM, M,NM sono dunque complementari, cioè l’ angolo M, N M; è 
retto c. d. d. 
3 7 fat 1 : , E 
La stessa dimostrazione vale pel caso di K=——-, ove si mutino le funzioni 
a 
circolari dei lati in iperboliche. 
8 IV. 
Sistemi di Weingarten negli spazi di curvatura costante. 
11. Proponiamoci ora il problema generale della ricerca di quei sistemi tripli 
di superficie ortogonali, situati nello spazio di curvatura costante, che contengono una 
serie di superficie 2 colla medesima curvatura costante %, la quale, per semplicità, 
sarà posta eguale a #1. Estenderemo anche a tali sistemi il nome di sistemi di 
Weingarten. 
Come vedremo, le formole relative a questi sistemi sono essenzialmente differenti, 
secondo che la curvatura relativa k—K. (n. 4) delle superficie > ha segno eguale 
od opposto alla curvatura assoluta. In questo paragrafo studieremo il caso che le due 
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