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curvature abbiano il medesimo segno, come’ accade appunto nello spazio euclideo, ove 
esse coincidono. 
Supponiamo dapprima che la curvatura /% delle superficie ® sia —=—1; allora, 
per l’ammessa ipotesi, la loro curvatura relativa 
k-K=—(14+ K) 
dovrà pur essere negativa, sicchè potremo porre 
1 
K+1= R° 5 
dove R è una costante reale. Secondo che lo spazio sarà a curvatura positiva o nega- 
tiva sarà R>1 0 R<1 e per lo spazio euclideo R=1. 
Se 
ds = H;? du? + H,® dv° + Hz? dw° 
rappresenta l'elemento lineare dello spazio, riferito al sistema triplo ortogonale sup- 
posto, e le superficie % = cost'° sono le superficie pseudosferiche X, dovremo avere: 
ET \_d 193H, ma PARETE 
H, H; ( du \H, du do\Hs dv Ji 
Dalla 1? delle (2) segue quindi 
k=— = 
1 ah 1 ab (e rg NOT 
HyH, >dw.-Hy Hi do esi 
per cui potremo porre 
— —— _ig0 2 — = cot@ 
H,H; 9dw R 16105 Hs Hz dw R SOUL 
essendo 0 un angolo ausiliario. 
Sostituendo nelle due prime formole (2’) e lasciando da parte il caso che le super- 
ficie XY siano di rotazione, se ne concluderà, come al n. 3 $ 2 M. A, che si può porre 
ini 
209 
H,=cos0, H,=sen0, H;=R —> 
x dW 
dove la funzione 0(v, v, 20) dovrà soddisfare le equazioni: 
VO IO 
o _ sen cos@ 
de dI 
D i DO DO MO do 
du \così du dwW sen@ dv dw dv 00 
Oi ani a 1 329 36 0 
——— — ——— sen0—=0 
_ così du dw dU dWw 
dv \send dv dw 
DI DOLO no DE 
udIvIw 5° du dw 30 dv Iw IU i 
delle quali la 3* è una conseguenza delle due prime. Queste sono le equazioni stesse 
che abbiamo trovato al n. 4 M. A nel caso dello spazio euclideo. 
Inversamente se 0 soddisfa le (A); l'elemento lineare 
g9\2 
(12) ds® = cos°0 du? + sen°0 dv? + R° RE, dw° 
appartiene allo spazio di curvatura costante K=pe 1 e le superficie w = cost! 
del sistema triplo saranno superficie pseudosferiche di raggio = 1. Così adunque ad 
