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ogni sistema di Weingarten nello spazio euclideo, che dà all'elemento lineare di questo 
spazio la forma 
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(13) ds? = cos°0 du” +4 sen? 0 do? + (3) dw®, 
ne corrisponde uno nello spazio di Riemann o di Lobatschewsky, pel quale l'elemento 
lineare dello spazio curvo assume la forma (12). 
Tutto ciò che si è detto relativamente alla trasformazione complementare e a 
quella di Bichlund nei $$ 8,9 M. A. vale quindi egualmente per questi sistemi di 
Weingarten nello spazio curvo. Se consideriamo ora il caso di X=-+-1 e supponiamo quindi 
vedremo, come sopra, che all'elemento lineare dello spazio curvo si può dare la forma: 
i DCAG 
ds? = cosh® 0 du? = sen h® 6 dv° + R° i duv® 
secondo 0 una soluzione delle equazioni simultanee a derivate parziali (II) (II) n. 4 
M.A., sicchè anche qui ogni sistema di Weingarten nello spazio euclideo ne dà uno 
nello spazio curvo ed inversamente. 
12. In ciò che segue ci riferiremo unicamente a quei sistemi di Weingarten, 
in cui le superficie 2 sono pseudosferiche, o come diremo, ai sistemi pseudosferiet 
di Weingarten. 
Fissata la corrispondenza fra questi sistemi nelle spazio euclideo e nello spazio 
curvo, nel modo che sopra si è detto, possiamo pervenire per altra via ai risultati 
del $ precedente, dimostrando che: Ad ogni sistema ciclico di Weingarten (Libau- 
cour) nello spazio euclideo ne corrisponde uno ciclico nello spazio curvo. 
Alla dimostrazione di questo teorema premettiamo le osservazioni seguenti. Ogni 
curva dello spazio di Riemann o di Lobatschewsky ha in ogni punto un circolo oscu- 
latore e la sua 1* curvatura o /lesstone si misura dalla curvatura di questo circolo, 
ossia dalla sua curvatura geodetica sul piano che lo contiene. Se siamo nello spazio 
di Riemann a curvatura K=t5 e se 7 è il raggio del circolo la sua curvatura 
È 
è data da 
A a 
Nello spazio di Lobatschewsky si distinguono tre specie di circoli e cioè : 
3 1 r 1 i 
1° quelli col centro reale, che hanno per curvatura a SL mg: se 7 è 
il loro raggio; 
2° gli oricieli (col centro all’ infinito), la cui curvatura è = 
(dA 
3° i circoli a centro ideale, che sono geodeticamente paralleli ad una linea 
geodetica dello spazio; se distano da questa geodetica di d, la loro curvatura è 
data da 
1 
D) 1 
ele 
Supponiamo ora di avere una curva C tracciata sopra una superficie S dello 
