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L'altra formola € = @ insegna che la normale principale dei circoli (w) forma 
sulle superficie pseudosferiche +0 = costte l'angolo w colle linee v = coste. Ma quest’an- 
golo w, nelle formole di Darboux, è appunto l'angolo d’ inclinazione di un sistema di 
geodetiche parallele delle w= cost! sulle linee v= costt° (M. A. n. 19); ne risulta 
che la superficie luogo dei centri di questi circoli è superficie complementare delle 
infinite superficie w= cost'° e quindi (n.9) il piano di ciascuno di questi circoli tocca 
nel centro la superficie anzidetta. Questi sistemi ciclici di Weingarten coincidono 
adunque coi sistemi di Ribaucour, considerati al S III. 
Osservazione. Come nello spazio euclideo, così anche nello spazio curvo, oltre al 
gruppo formato dai sistemi ciclici, esiste un gruppo più generale, formato dai sistemi 
di Weingarten a flessione costante, pei quali le linee (0), senza essere piane, hanno 
la flessione costante —1. Le considerazioni superiori dimostrano infatti facilmente che : 
Ad ogni sistema di Weingarten a flessione costante nello spazio euclideo cor- 
risponde un sistema di Weingarten a flessione costante nello spazio curvo. 
SV. 
Caso in cui la curvatura assoluta e la curvatura relativa delle superficie X 
hanno segno opposto. 
15. Riprendiamo la discussione del n. 11, volgendoci ora al caso in cui la cur- 
vatura assoluta % e la curvatura relativa % — K delle superficie X hanno segno opposto. 
Supponendo dapprima X=—1 e quindi K+-1<0, poniamo 
la 1 
lo spazio avrà la curvatura costante negativa 3EMIOVe 
1 1 
—= + 
GP Rae 1 
Se 
dst= H,° du° + Hx? do? +4-H,° dw? 
è l'espressione dell’elemento lineare dello spazio, riferito al sistema triplo ortogonale 
supposto, esprimendo che la curvatura 7 delle superficie #w= cost!* è =—1, troviamo 
dalla 1* delle (2) 
Idee I deb 
HH; 230 H.H, dw RR 
Indicando quindi con 6 una conveniente funzione ausiliaria, possiamo porre 
1 ?3H, tghé 1 dH,  coth@© 
hl do IR SETT dwWw R 
Facendo uso delle (2) (2°) come al n. 11, troveremo che all'elemento lineare dello 
spazio si può dare la forma: 
lt) 2 
(15) ds? = cosh? 0 du? + senh® 0 dv? + R? i, dw°, 
