= 20 — 
dove 0 è una funzione di «,, w che deve soddisfare al sistema di equazioni a deri- 
vate parziali : 
DAOMIMIDO, 
i = senh @ cosh @ 
db do 
I 0A A O 
du \cosh9 du 30) ' senh@ 30 20 0 
D Il d°0 1 N°201 3O DO, 
Dei == = senh@ 
dv \senh6 dv dw 
0 
osh 92 
(B) 
—= se 
cosh 9 du dw dU dW 
86 20) 2*0N6 ROSSO 
—————- =" tgh 0 = L coth 0 — ) 
dU IdV dW a) dV IU dW mne dU dV dIW 
delle quali però la 3° è conseguenza delle prime due. 
Inversamente se @ (, 0,0) è una soluzione delle (B), l'elemento lineare (15) 
appartiene allo spazio di curvatura costante K=— (1 + di e le superficie 20 = cost'* 
del sistema sono pseudosferiche di raggio = 1. 
Passiamo ora al caso di X=--1, supponendo che sia 
kE_-K<Z0. 
Se poniamo 
troveremo che all'elemento lineare dello spazio si può dare la forma: 
ELAW 
(15) ds = cos40dul-=-senz0ldv?=R? È a) PIA 
00 
dove la funzione 0 soddisfa alle seguenti equazioni a derivate parziali : 
6° 0 
— —_ + sen0 così—0 
DU? dv 
d 1 Do ll 20 ve d 
val azane _ === 3.000 = 
(0) du \così du dw send dv dv dWw dWw 
D 1 d°0 ) I dO LIO mo L 0h 
20 \sen9 dvIw) così du dv dIWw dw 
239 dO d0 gd d°0 
dU IV IW dU IV IW 5 dv IU dW 
e inversamente ad ogni soluzione @ delle (C) corrisponde un sistema di Weingarten 
(157) nello spazio di Riemann a curvatura K = 1 + 
Come al n. 5 M. A si dimostrerà, per mezzo delle (B), (C), che sopra le super- 
ficie a curvatura costante w = costt° dei sistemi (15) o (15') le linee DI _ costi 
costituiscono un sistema di circoli geodetici paralleli. Queste linee, lungo le quali è 
costante la distanza normale infinitesima di una superficie 7% = costt° dalla successiva, 
possono opportunamente chiamarsi linee di livello. 
