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Indicando con Ta la loro curvatura geodetica, troveremo per i sistemi pseudo- 
sferici (15), tenendo conto delle (B) ed applicando la formola (4) n. 6: 
(SÌ 
snai | dw } 
DI 
7 DE 1 320 \ ci Il d?20 \? 
cosh? 0 \du dw senh®0 \b èw 
Ne segue che le linee di livello sulle superficie pseudosferiche w= cost!° saranno 
circoli a centro reale, circoli a centro ideale, oppure oricicli secondo che l’espressione 
n sro) 
cosh° 0 \Hu dw senh°6 \dv dw dw 
è negativa, positiva o nulla. È poi facile riscontrare, per mezzo delle (B), che l’espres- 
sione stessa (16) è funzione di w soltanto. 
16. Lasciando completamente da parte il caso che le superficie X° (w=costt*) 
abbiano la curvatura positiva, ci occuperemo qui soltanto dei sistemi pseudosferici (15), 
di cui dimostreremo rigorosamente l'esistenza e studieremo le proprietà. 
L'analogia di costruzione del sistema (B) di equazioni a derivate parziali col 
sistema (A) n. 11 ci condurrà facilmente ad estendere al nuovo sistema le proprietà 
già studiate in dettaglio per quest'ultimo ai $$ 8,9 M. A. 
Stabiliremo in primo luogo, anche in questo caso, l’esistenza di sistemi ciclici, 
costruendo delle formole analoghe a quelle di Darboux. Perveniamo a tale risultato 
colle considerazioni seguenti. 
Se la funzione 0(v,0) è una soluzione dell'equazione a derivate parziali : 
d°0 d°0 
dU? dv” 
(16) 
(17) = senh@ cosh9, 
e nelle formole (5) (6°) del n. 3 poniamo 
VE= cosh@, G= senh@ 
1 cothé 1. tghd 
PI k i Pa R 
facendovi 
vediamo che esse sono soddisfatte; ne segue (n. 3) che l’elemente lineare 
ds? = cosh® 0 du? = senh? 0 do? 
appartiene ad una superficie pseudosferica S di raggio =1, immersa nello spazio di 
Lobatschewsky colla curvatura K =— (i + Ta . 
Consideriamo ora sulla S un sistema qualunque di geodetiche parallele e in ogni 
punto P==(«, v) di S indichiamo con w l'angolo, che la geodetica del sistema, uscente 
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