— VO 
da P. forma colla linea v= cost!°. Procedendo precisamente come al n. 19 $ 8. M. A. 
troveremo che le funzioni 0(v,v), ©(v, 0) sono legate fra loro dalle relazioni 
o) RIO) 
== — = senh@ cos w 
18 du dU 
( ) 90 dw 
—— — cosh0 seno, 
dv dU 
analoghe alle formole di Darboux e che possiamo ora considerare sotto un punto di 
vista puramente analitico. 
Come equazioni simultanee alle derivate parziali per la funzione , esse sono 
compatibili appunto perchè @ è soluzione delle (17). Derivando la 1° delle (18) rispetto 
a v, la 2° rispetto ad % e sottraendo, si vede che © soddisfa l’altra 
di MO) 
(le) SVABEEDA 
Inversamente, se © è una soluzione di questa ultima equazione alle derivate par- 
ziali, e nelle (18) riguardiamo @ come funzione incognita, esse sono compatibili in 
forza della (19) ed ammettono un integrale comune 6, contenente una costante arbitraria. 
17. Ciò premesso, se indichiamo con w la costante arbitraria, che figura nell’ in- 
egrale generale 9 delle (18), ove per w sia sostituita una determinata soluzione 
della (19), avremo evidentemente : 
2°6 DO 0 SY) 
©? _- cosh@cosm —, —— =senh0 seno — - 
dU dW dWwW QVIW dQw 
= sen ©” COS @ . 
(20) 
Dopo di ciò si verifica subito che la funzione 6 (v, v, w) soddisfa tutte le equa- 
zioni (B) n. 15; la formola 
i 00. \} 
(21) ds? = cosh? 0 du? 4 senh® 0 dv? + R° i dw? 
definisce adunque l'elemento lineare dello spazio di Lobatschewsky colla curvatura 
x 1 
k=-(1+pa) 
riferito ad un sistema pseudosferico di Weingarten. Vogliamo ora di più dimostrare 
che questo sistema è ‘ciclico. Per ciò basterà giovarsi della rappresentazione conforme 
del n. 1, ripetendo i calcoli fatti al n. 13 per i sistemi analoghi allora considerati. 
Così troveremo che nel sistema (21) le linee (w) sono circoli di curvatura = 1. E 
siccome la curvatura dello spazio è qui, in valore assoluto, >1, dalle osservazioni 
del n. 12 segue che nel caso attuale i circoli (w) sono a centro ideale. Ciascuno di 
questi circoli dista poi dalla sua geodetica parallela (n. 12) della lunghezza costante d, 
fornita dalla relazione 
) Il 1 
QUA ISEE RIRI, 
Di più le traccie dei piani di questi circoli sui piani tangenti di ogni superficie 
pseudosferica 2% = costt* sono le tangenti di quel sistema di geodetiche parallele, che 
formano l’angolo © del n. precedente colle linee = cost!°. 
Si potrebbe poi dimostrare che non esistono, nel caso attuale, altri sistemi ciclici 
di Weingarten all'infuori di quelli ora considerati. 
Il 
Wa tgh 
