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18. Mediante le formole (18), simili a quelle di Darboux, abbiamo constatato 
l’esistenza di sistemi ciclici. Ed ora, estendendo anche al caso attuale il processo 
analitico, a cui conduce la trasformazione di Backlund, applicata ai sistemi di Wein- 
garten nello spazio euclideo ($S 9 M.A.), giungeremo a dimostrare l'esistenza di infi- 
niti altri sistemi nello stesso grado di arbitrarietà che abbiamo riscontrato per gli 
altri casì. 
Prima però di far conoscere questi nuovi risultati, che presenteremo qui. sotto 
forma analitica, sarà bene accertarsi della esistenza di qualche soluzione particolare 
del sistema (B), che conduca a sistemi di Weingarten non ciclici. Si ottiene subito 
un tale integrale delle (B), assumendo @ funzione di una combinazione lineare 7 delle 
variabili 
t="dUW+ bv +10, 
dove «, è sono costanti. Basterà per ciò prendere 
(21°) = (C costante arbitraria) 
| rr senh? # 
4 4 
e si avranno dei sistemi di Weingarten non ciclici. 
Ciò premesso, supponiamo che @ sia una soluzione particolare qualunque del 
sistema (B) e, indicando con © una funzione incognita di %, 0, 40, con « una costante 
arbitraria determiniamo © dalle equazioni ai differenziali totali : 
209 
(22) STENE 
D) 
( 
--3 sen a senh 0 cos w + cos «a cosh 0 sen m — 
— sen a cosh 0 sen © -+ cosa senh 0 cosw! du + 
e 
dv + 
U 
| 
) 
dI) 
) 
I 
1 (coso d°0 senm d°0 29 
Al DEL sen GS dw . 
alcosh 8 du dW ' senh 6 dv dw6 dw 
Le tre condizioni d'integrabilità per questa equazione si trovano identicamente 
soddisfatte, a causa delle equazioni (B), cui per ipotesi soddisfa 9. Si fanno queste 
verifiche nel modo più breve osservando che, se la funzione © si suppone determinata 
dalla equazione 
PA dd =, 
la /, riguardata come funzione delle quattro variabili %, v, w, @, considerate come 
indipendenti, deve soddisfare alle tre equazioni a derivate parziali lineari ed omogenee: 
'A0= vita to) 
ana ttatt_ 
Ao) baita 7 
dove 4,, 4>, 43 indicano i coefficienti di va dv, dv nelle (22). Ora l’esser soddisfatte 
le condizioni d'integrabilità per la (22) porta che il sistema (4) sia Jacobiano e 
