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inversamente (Cf. Mayer. Math. Annalen Bd 4). Queste condizioni d' integrabilità pren- 
dono quindi la forma: 
Ar(a2) — As(a)=0, Aia) — A(a)=0, As(0) — As(a) =0. 
La (22) ammette per conseguenza un integrale w, contenente una costante arbitraria. 
Per questo integrale © seguono poi dalla (22) le formole seguenti, di cui importa 
tener conto : 
1 di w 1 SH VERSA, DI) a d°9 sen © senh 0. d?°0 
= — a geco Fnsi 
COS W dU dW cos @ dw si "du dWw cosh 0 du dWw 
ME, hi cosh 0 senm d?°0 
(3) dv IWw 5 senh @ dVIW 
1 dim 1 99 DZ0 senh 9 cosm d*0 
= senh 06 —— seno —iga====___ _=—=——— 
seno dV dW cosa dw QU dW cosh 0 du QW 
di 6 cosh 0 cosmo 3°0 
— tg a sen w ——____ 7 
dv dWw senh 0 dv IWw 
E mediante queste ultime, la (22) e le (B) si verificherà agevolmente che l'inte- 
grale w delle (22) soddisfa al sistema seguente di equazioni alle derivate parziali: 
d°w dim 
— = sen @ Cos © 
due 30° 
d ll do I Qo dio do 
enon = COSTO er) 
B' } du \C0Sw dU dW sen w dV dV dW dwW 
d 1 dio Il do dio 
SEAN TT" === en È —_ = 3 (() 
dv \senw dv dW c08% du du dW 
dI w do di eo dio 
ito a 
=_= — c0L w 
dU dV dWw DV dU dW DU dV IW 
Inversamente supponiamo che © sia una soluzione delle (B') e determiniamo la 
funzione 9 di v, v, w dalla equazione a differenziali totali 
(22’) dé = I sen @ senh 0 cos © +- cos @ cosh 0 sen @ — : du + 
do ) 
+) sen a cosh 0 sen © — Ce Orio dv + 
Il ( così dio ba senh 0 3°@ 3g do | o 
se 
cos a (coso dYIwW seno dVIWV dv | 
per la quale, a causa delle (B'), trovansi identicamente soddisfatte le condizioni di 
integrabilità. L'integrale 0 della (2°) contiene una costante arbitraria e, come facil- 
mente si verifica, soddisfa alle equazioni del sistema (B). 
19. Ciò posto, è chiaro come, partendo da una soluzione particolare delle (B), 
e integrando successivamente una serie di coppie di equazioni ai differenziali totali 
della forma (22), (22') (dove in ogni singola equazione si potrà dare ad @ un valore 
a piacere) si possa giungere a trovare sempre nuove soluzioni delle (B) (e delle (B')), 
contenenti via via un numero crescente di costanti arbitrarie. Riguardo alle equazioni 
(22), (22') è da notarsi che, prendendo nella 1 per incognita 4 = tg + e nella 2° 
A=tgh+90, esse diventano equazioni del tipo di Riccati, per le quali si possono 
