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si prova che ogni sistema cielico di Weingarten, per mezzo delle nostre trasforma- 
zioni, si cangia in un nuovo sistema ciclico, così ne risulta l'esistenza di infiniti sistem! 
di Weingarten, non ciclici, a flessione costante. 
21. E degno di nota un caso limite delle trasformazioni considerate nei due para- 
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grafi precedenti, caso che risulta dalle (22), (22°) per «= 3° Il teorema, che così 
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si ottiene, corrisponde a quello della trasformazione complementare (n. 20. N. A) per 
i sistemi di Weingarten nello spazio euclideo e può enunciarsi come segue: 
Se la funzione 0 di u, v, w è una soluzione delle (B), l'angolo @ definito dalla 
equazione : i 
(25) coso d°0 senm 3° BU 
Iat9) — — 
cosh 9 du dwW = senh 8 dv dwWw dw 
è una soluzione delle (B'); inversamente se w è una soluzione delle (B'), la fun- 
zione 0 che soddisfa alla equazione: 
cosh 0. d°w senh 0. dî d5 
26 PF = 
(26) cos m du dW sen@ 20 dwW dWw 
è una soluzione delle (B). 
Le verifiche di queste proprietà si fanno facilmente, tenendo conto nel 1° caso 
delle equazioni (B), cui soddisfa 9, e nel 2° delle equazioni (B'), cui soddisfa ©. 
Si deve però osservare che le (25), (26) danno due valori reali e distinti per 
o per 9, solo quando il 1° (e quindi il 2°) membro della (24) è positivo, cioè quando, 
essendo > 1, le linee di livello sulle superficie pseudosferiche del sistema di 
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Weingarten sono circoli a centro ideale, mentre se _= 1 la (25) o (26) dà un solo 
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valore per w o per 9. La trasformazione, qui considerata, conduce quindi da un sistema 
noto di Weingarten a nuovi sistemi, senza alcun calcolo d' integrazione, solo quando 
la flessione delle linee (w) nel sistema iniziale è >1. La formola (25) è allora 
suscettibile di una interpretazione geometrica, come la formola analoga (28) M. A. 
n. 21. Fra le linee di livello, vi è in questo caso una geodetica e l'angolo w, dato 
dalla (25), è l'angolo che le geodetiche parallele, nell’un senso o nell'altro, a questa 
geode'ica di livello formano colle linee di curvatura v = cost'°. 
SVI. 
Caso în cui la curvatura delle superficie X è variabile 
dall'una all'altra superficie. 
92. Fino ad ora abbiamo considerato quei sistemi tripli di superficie ortogonali, 
nello spazio di Riemann o di Lobatschewsky, in cui le superficie X di uno dei tre 
sistemi hanno la medesima curvatura costante. Ora trattiamo brevemente il caso più 
generale, in cui le superficie £ sono bensì, individualmente considerate, a curvatura 
costante %, ma % varia (con continuità) passando dall'una all'altra superficie X. 
