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Supporremo qui 7 negativo e di più ci limiteremo a considerare una porzione 
dello spazio, in cui la curvatura re/aliva X—K. delle superficie pseudosferiche X con- 
servi sempre il medesimo segno. 
Sia 
ds° = H,? du* 4 Hs? dv*? + H* dw? 
la forma dell'elemento lineare dello spazio e le superficie X siano le = costte. 
Ponendo la loro curvatura 
sarà R una funzione di 0, che supporremo finita e continua insieme colla derivata. 
Se consideriamo dapprima il caso di X—K negativa, potremo porre 
Lr 1 
Epi 
ossia 
1 
SUSA 
VET 
Il 
== ) 
R? 
1 
secondo che K==- ep Procedendo come al n. 11, troveremo che all'elemento lineare 
dello spazio di Riemann o di Lobatschewsky, riferito al sistema triplo pseudosferico 
supposto, si può dare la forma 
2 
2 2 78 (o) dw? i 
dW 
ds? == 
dove le funzioni 0(w, ©, 0), R(w) sono legate fra loro dalle equazioni: 
TO O Sen i cos 
VP LET 
2 Di) i Di 
È) 
sen @ dv dw cos 0 du dWw wu ), 
3 2 
0 eno, d°6 O _ O_O _ 
Il 
cos9 dUdW sen 0 dv dw IdV R 
1 
R 
7 E UG co 
DU IdV dW QdU dW IdV QVIW TT 
(D) a Pe) 129 
ia 
-G 
Inversamente se 0, R soddisfano a queste equazioni la formola precedente defi- 
nisce, nello spazio curvo, un sistema triplo ortogonale della specie voluta. Le (D) 
sono le equazioni stesse della mia Nota 3 gennaio 1886, inserita nei Rendiconti di 
questa r. Accademia. Anche qui troviamo adunque (come al n. 11) che ad ogni sistema 
pseudosferico nello spazio euclideo ne corrisponde uno nello spazio curvo. Per questi 
sistemi sussistono quindi in generale i risultati di quella Nota. 
23. Sia ora K-K=—(1+#+K)>0, quindi K= — - . Se poniamo 
1 1 1 
(0) awe RI 
vedremo che all'elemento lineare dello spazio si può dare la forma 
(28) ds? = cosh? 0 du? + senh? 0 dv° + 2° E D) dw?, 
