— 249 — 
è integrabile 7//me/atamente e l'integrale generale 9 (con una costante arbitraria) 
soddisfa al sistema (E). 
Il metodo, esposto al n. 19, è quindi anche in questo caso applicabile per rin- 
venire sempre nuove soluzioni del sistema (E), partendo da una soluzione nota. Per 
tale soluzione iniziale si può prendere p. e. quella data dalle formole : 
cosh 1 
cosh6== ===, senh0= 
senh 7 senh 7 
I=0929, 
dove si è posto 
t=u+vtgw4 w(w), 
essendo w (4) una funzione arbitraria di w. Se allora nelle successive equazioni (29) 
(29') si prende 
ca—1l, cose = sen w%0, sena = — c0$ 70, 
l'applicazione del metodo descritto porterà soltanto ad eseguire successive quadrature. 
S VII 
Caratteristiche dei sistemi di Weingarten. 
24. Esponiamo ora un metodo generale per trovare, mediante sviluppi in serie, 
gli integrali di quei sistemi di equazioni simultanee alle derivate parziali, da cui 
dipende la ricerca dei varî sistemi tripli ortogonali di Weingarten dello spazio piano 
o curvo ('). Per tal modo dimostreremo rigorosamente, per tutti i sistemi di Wein- 
garten, quella parte del teorema A) n. 11. M. A, che si riferisce alla unicità del sistema, 
sotto le imposte condizioni ai limiti. 
Prendiamo per equazioni tipiche le (A) n. 11, avvertendo che identiche conside- 
razioni possono ripetersi per tutti gli altri sistemi di equazioni a derivate parziali 
sopra citati. Il problema da risolversi è l'integrazione del seguente sistema di equa- 
zioni simultanee per la funzione incognita 0(w, 0, w): 
| milo) d°0 
(30) De 9 
du dv 
dA \ sn d0 D9 d (29 ndo d NI 
a} =c08°0 —— tg 0 — + cot 0 
QUE \QW, dwW dU dU \ dW QdVQV \QdW 
NZ QI 20 d (9A DI do (309 
dU dI. \ dW dv dU \dwWw du dv \dWw 
di (0 20 d0 D/00 DO d (0 
= DI) sento È gg -— (— \ L_cot0 — —(- ) 
d0° \Qdw dW du du \dw dA \dW 
= sen 0 cos 8 
TERE 
Cerchiamo di soddisfarvi con un valore di 0, che sia funzione analitica delle 
variabili «, v, v, sviluppabile in serie di Taylor per le potenze di w. Scriviamo questa 
serie nel modo segnente : 
wi w° 
I G=- lho WE W — + Ly, Le, 
( ) Wo Yi, Wa 1.2 Y,, z (n) 
(1) Sistemi (A), :(B), (B)), (C), (D), (E), (E/) della presente Memoria. 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE ecc. — MemorIE — Ser. 4%, Vol. IV. 
I 
ao) 
