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Per mezzo di queste formole, partendo dai valori iniziali 
e,=0, f,=0, v=0, 
si calcoleranno le @, $, y con un indice qualunque. 
Inversamente se w, è una soluzione della (383) e wr, W2, Yz ... soddisfano rispet- 
tivamente alle (34) per 2=1,2,3..., la serie (32), quando sia convergente, definirà 
una funzione 6, integrale del sistema (30), (31). E infatti le (31) e tutte quelle, che 
ne seguono per derivazione successiva rispetto a w, saranno soddisfatte per #w=0 e 
quindi le (81) stesse sussisteranno qualunque sia %w. Inoltre la (30) sarà soddisfatta 
per w=0 insieme a tutte le equazioni che nascono da questa, derivandola successiva- 
mente rapporto a 7%, poichè queste ultime sono combinazioni lineari di quelle supe- 
riormente considerate. Così anche la (30) sarà soddisfatta qualunque sia w, €. d. d. 
26. Le equazioni (34) esprimono le derivate seconde della funzione incognita W, 
per mezzo della funzione stessa e delle sue derivate prime e se le condizioni di %/2- 
mitata integrabilità, contenute nelle formole 
| dYn ed dn 1 dYo a y ci a, — cot a A 
87) | du do senycosy, 20 “Sg, i 
Î QdPn AN 1 dYo dWo dYo 
“== i n OC, — COt ZA AT_0E 
| du — do | senywocosy, du In Boy ‘og 
si trovano identicamente soddisfatte, esse ammettono una soluzione w, contenente tre 
costanti arbitrarie. 
I primi membri delle (37) sono composti con 
; Wo DUI dWra .dW0 di dWra 
Wo, Yi, EEA OVrnS o —-? DICOO ; o) BOO 
du  dU du dv dv dv 
e noi dimostreremo ora appunto che essi sono identicamente nulli, anche se sì riguar- 
dano gli argomenti superiori come altrettante variabili indipendenti. Per ciò ammet- 
tiamo che la enunciata proprietà si verifichi per n=1,2,...m—1 e dimostriamo che 
essa sussisterà altresì per 21—=m. Siccome pei primi valori di n==1,2 la proprietà 
facilmente si riscontra, così sarà vera in generale. 
Ponendo nelle (37) n= ed esprimendo @,, #,m, Ym Per @m-1, Pm-13 Ym-1 Secondo 
le formole ricorrenti (36), troviamo che esse si riducono alle seguenti: 
DL (G5725) DIL (8725) ( 1 do ) 
DIARI aa (senyocosy”, dU Pi n os Da fi 
— 2 (cor 3 Wo — Yinei ; = 0) 
IL (Ema IL(0m_1) ( 1 Wo ) Wo, 
—F —-— Q: mal = Cm j7T7 
du dw ca (sen ywocosys d gb ) Igo: IU Ja 
= ® (ctu ==> Vini ) = 0) 
Ora l'operazione £, definita dalla (35), è evidentemente distributiva come un'or- 
dinaria operazione di derivazione; inoltre, ove sia eseguita sopra una funzione 
( È) D d EGURTO) d DW m- 
—F Wo, Wi... Wmn-a 5 o ; DA PA dr o; A badi en :): 
du du du dv dv dv 
(37) 
