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queste possono scriversi anche 
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Ora supponiamo di conoscere già 
Vi Wo 00000 We s 
se deriviamo la 1* delle (38) 7—1 volte rapporto a %w, la 2% r—2 volte, indi nelle 
1 
equazioni risultanti facciamo w=0 u=% v=%, le derivate successive di LL 
rapporto a w prenderanno valori assegnati, dipendenti dalla forma della curva ©, e 
ne risulteranno, per determinare 
dUn (0) PDA (0) 
( dU ) ( dv ) 
due equazioni lineari della forma 
1 uv dn fare 1 di (0) dYn 59. 19) 
al DI dU A do Joi aisi 
YI (0) dn (0) QVUINO® dWn (0) 7 
di (la) (i o) ER 
dove 4,, d, sono costanti note. Queste equazioni individuano appunto, come sopra sì 
2 i. : RO O) dY x . , . 
è asserito, i valori iniziali di din ha purchè non sia nullo il determinante 
(e (e 
1 AOL 1 dYi \6° 
sat: sen?y%o \ dv 
ossia, per la 1° delle (38), purchè la curva Co non abbia in È la fiessione nulla. 
Lasciando per ora da parte questo caso eccezionale possiamo dire : 
Se del sistema di Weingarten si conosce una superficie pseudosferica iniziale 
ed una curva (analitica), traiettoria ortogonale delle superficie pseudosferiche del 
sistema, il sistema stesso, quando esista, sarà unico e determinato. 
Per accertarsi della sua effettiva esistenza converrebbe esaminare la convergenza 
della serie (32) corrispondente. 
28. Il caso d'eccezione sopra notato può sempre evitarsi, ricorrendo ai teoremi 
del $ 9 M. A. sulla trasformazione di Backlund. E infatti se supponiamo che il sistema 
cercato esista e corrisponda ad una soluzione delle (30) (31), applicando a questo 
sistema una trasformazione di Backlund a costante 0, ne deriviamo un secondo sistema 
di Weingarten, corrispondente ad una nuova soluzione g delle (30) (31). Con questa 
trasformazione la superficie pseudosferica X» e la curva Co si cangieranno in una 
nuova superficie pseudosferica 2, e in una curva 0%, che si potrà dedurre dalla Co 
nel modo spiegato più avanti (n. 29). Ora se nelle formole (37) (39) n. M. A facciamo 
w=0 u=% v=, osservando che per ipotesi 
Ò Y\O 28 (0) DÉ (0) 1 
\ == 1 = ) == 0 ) == 0) 9 
dW) dU dW, 00 dW 
