s'e 
dove 3 è una funzione di due variabili indipendenti x, ye 4, sono costanti. Facendo 
poi dello spazio a curvatura costante la nota rappresentazione conforme sullo spazio 
euclideo, le immagini delle superficie a curvatura media nulla o costante danno luogo 
a nuove classi di superficie dello spazio ordinario a linee di curvatura isoterme. 
Queste superficie sono definite in coordinate cartesiane (nelle solite notazioni di Monge) 
dalla equazione a ‘derivate parziali 1 
2 
C) He Tosi 
uenzi: 
o dall'altra 
(GE , 4(e—pa — 44) 
I) PL 2 LL === GS, 
| Ù + y p ua pu VI Lp+ 
dove H indica la curvatura media della superficie -e % una costante arbitraria. Da 
queste equazioni caratteristiche si può dedurre direttamente: che, sulle corrispondenti 
superficie, le linee di curvatura formano un sistema isotermo. Però il metodo qui 
tenuto per giungere alla conoscenza di queste nuove superficie, appartenenti ad un 
gruppo, che da vario tempo ha attirata l’attenzione dei geometri, sembra degno di 
nota. Per esso viene dimostrato come l'integrazione della equazione a derivate par- 
ziali (C) o (D) si riduca a quella dell'equazione tipica (B), susseguita dalla integra- 
zione di equazioni differenziali ordinarie. 
1. Consideriamo nello spazio a curvatura costante K un contorno arbitrario chiuso C. 
Se una superficie S, terminata a questo contorno, deve possedere l’area minima fra 
tutte le superficie infinitamente vicine ad S e terminate al medesimo contorno, in 
ogni punto di S dovranno i raggi principali di curvatura essere eguali e di segno 
contrario. Di questa proprietà, che discende dalle ricerche generali di Lipschitz (!), 
darò qui una dimostrazione simile a quella adottata da Darboux, pel caso dello spazio 
euclideo, nelle sue eccellenti Zecons sur la théorie générale des surfaces, p. 281. 
Supponendo che la superficie S soddisfi alla condizione di minimo richiesta, rife- 
riamola alle sue linee di curvatura %,.v e siano 7;,7 i suoi raggi ridotti di curvatura e 
ds? = Badu? + Gdo? Î 
il suo elemento lineare. Assumendo a sistema triplo coordinato nello spazio curvo 
quello a cui appartengono la superficie S e le sue parallele, l'elemento lineare. ‘dello 
: 1 ; 
spazio a curvatura costante K = da prende la forma (M. c. n.9) 
» wW a w\\ wW DI w\\ 
(ca h(cos (2) = a (£)) du 4-G (co()- — Sen (£)) dv°4-dw?. 
Ue) \ si d 1 \ i è 
Eleviamo ora in ogni punto della porzione di S, terminata al contorno €, un 
segmento infinitesimo di normale 
OY 
dove « è una costante infinitesima e o una funzione di v, v assoggettata alle: sole 
Q 
AA a 1 sputo È , de d 
condizioni di essere finita e continua insieme alle derivate prime > 3 su tutta la 
dV 
(1) Ausdehnung der Theorie der Minimalflichen. Crelle’s Journal Bd. 78. 
