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porzione considerata di S e di annullarsi lungo il contorno C. L'elemento lineare 
della superficie S', luogo degli estremi di questi segmenti, sarà dato dalla formola (1), 
facendovi w = so. 
Trascurando le terze potenze di «, troveremo quindi per l'elemento d'area do 
della superficie S': 
I 2) (1 —2) I DI se(se) 
do' =] DOnL ce(7 de + | 0 Era +5 >) T50 "I (dudv. 
L'aumento 4S d'area nel passaggio dalla He S alla S' sarà dunque dato da: 
S—=— a (G T) Rd do + 
nodi Ti (5 Pi 2) ui % DI tag 2G a Ì (IG da do: 
dove gli integrali del 2° membro sono estesi alla porzione di S considerata. Ne segue 
che, onde la superficie S abbia effettivamente un’area minore della S', qualunque sia 
la determinazione scelta per o, sì dovrà avere : 
1 ]l 
10 ® bd 
Pi P9 
La stessa dimostrazione vale pel caso di K=_- cambiate le funzioni circolari 
in iperboliche. 
2. Se una superficie S dello spazio a curvatura costante K ha i raggi di cur- 
vatura 7, 7» legati fra loro da una relazione, le formole (A) dimostrano che, can- 
giando convenientemente i parametri «, v delle linee di curvatura, si può prendere 
(2) E= | ME MEI 
Se sì tratta di una superficie ad area minima, caratterizzata dalla relazione 
rt ra=0, 
supponendo che 7, sia positivo, 7» negativo, potremo porre per le (2) 
Bia=6k=@Ag 
dove c è una costante positiva arbitraria. Indicando con 9 una conveniente funzione 
di v, v, poniamo 
E=G= e 
ed, essendo K = + sa , prendiamo e = LI , di guisa che sarà: 
(3) = 0, Ya =— de 
(4) ds°= e (du + dv). 
L'ulteriore condizione (A), cui debbono soddisfare 7, 7>, si traduce per la fun- 
zione 9 nella equazione a derivate parziali : 
È D°9., d°0 2 1 
5) = 80020, per K=-- 
( ) du dv? a Ù p 3F af 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE ecc. — MemoRrIE — Ser. 48, Vol. IV.° 64 
