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o nell'altra 
ID) 2 
=> = 20 È 3 
(6) > + nio cosh20, per K 
Inversamente, se 0 è una soluzione della (5) o della (6), per quanto si è detto 
nella prefazione, esisterà una corrispondente superficie ad area minima dello spazio 
di Riemann o di Lobatschewsky, il cui elemento lineare, riferito alle linee di cur- 
vatura, avrà la forma (4) e i raggi di curvatura saranno dati dalle (8). 
Si può osservare in particolare che la equazione (5) è la stessa che sì presenta 
st 
x : E 2 1 ; 
per determinare le superficie a curvatura media costante = pa dello spazio euclideo, 
le quali vengono ad avere il medesimo elemento lineare (4) delle superficie ad area 
minima nello spazio di Riemann, ossia possono considerarsi come applicabili sopra 
di esse. 
3. Se nella (5) o nella (6) cangiamo le variabili indipendenti «, v colla sosti- 
tuzione ortogonale 
(| u=uc080 —v seno 
(0) 
lv =useno + v coso, 
dove o è un angolo costante arbitrario, la 9 considerata come funzione @, di %1 vi 
soddisfa nuovamente alla equazione 
d°0 d°0 2 
4L=—-snh20, 
du dI (0) 
o all'altra 
Sa sla cosh29, . 
we WE 
Ne segue che l'elemento lineare 
ds = e (du? + dv.) 
appartiene ad una superficie ad area minima dello spazio di Riemann o di Lobats- 
chewsky; i raggi di curvatura della superficie sono dati dalle formole 
o = dedi, og de. 
Ora per le sostituzioni (7) avendosi @,=@, l'elemento lineare precedente si 
trasforma nell'elemento lineare (4) e si ha 
NM MO 
onde il teorema : 
Ogni superficie ad area minima dello spazio a curvatura co- 
stante può flettersi con continuità, conservando invariati i suol 
raggi di curvatura. 
Le nuove linee di curvatura w,= costt° tagliano le antiche u= cost'° sotto 
l'angolo costante o, come per le analoghe deformazioni nello spazio euclideo. In par- 
ticolare per o = "i le linee di curvatura si cangiano in assintotiche (!) e inversa 
mente, sicchè abbiamo anche qui le superficie coniugate in applicabilità del Bonnet. 
(1) Anche nel caso dello spazio curvo diremo assintotica d’una superficie una linea di essa tale 
che in ogni suo punto il piano osculatore coincida col piano tangente della superficie. 
