— 507 = 
E infatti, per le (1), (3) e (4), l'elemento lineare dello spazio di Riemann, riferito 
al sistema triplo ortogonale, cui appartengono la superficie ad area minima S e le 
sue parallele, è dato da: 
? 3 2 
( dW0 wW ( 20 wW e 
(8) dst=) 0 cos Li) + e sen n) du? +4 \e0cosf | — e-tsen (2) do + div?. 
d a) | Î d a) | 
Ora se consideriamo una superficie X dello spazio, che abbia per equazione 
UA=ME_ICOSTLA 
il suo elemento lineare sarà 
O Gh DIM: RI) HA) 2 nil 2 
ds dw NIC COS ( )te sen È (n 5 
e la curvatura geodetica i delle linee w% = cost! sopra 2 sarà data da 
S 
Ww wW 
0 —-20 
ev — e sen n) cos — 
1 1 ( ) ( 1) ( 1) ) 
vaio wW /w 
() 2 2 012 
e così ( — cadsenz{i== 
La linea w=0 sopra X, cioè la linea «Tv = cost! sopra S, è quindi una 
geodetica per X e, poichè la superficie X e la S si tagliano ortogonalmente lungo di 
essa, sarà per conseguenza un’assintotica di S ce. d. d. Una dimostrazione perfet- 
‘© | 
su Dì 1 
tamente simile vale per 18 aa 
1 
Dalla formola (8) possiamo trarre un’altra interessante conseguenza. Se conside- 
TT 0, 
riamo le due superficie S,,-S, parallele alla S e distanti da essa di w = 
avremo pei loro rispettivi elementi lineari 
ds? = 2 (cos h® 0du? + sen h? 042°) 
ds, = 2 (senh® 0du? + cos h? 042°). 
Se calcoliamo la curvatura % appartenente a questi elementi lineari, in ambedue 
i casi troviamo per la (5) 
dunque: Ogni superficie ad area minima dello spazio a curvatura 
nr Il a 
costante positiva K=ta ammette fra le sue superficie parellele 
due superficie a curvatura costante positiva. 
4. Lo spazio a curvatura costante si può rappresentare in modo conforme sullo 
spazio euclideo e, prescindendo da inversioni per raggi vettori reciproci, tale rappre- 
sentazione è unica e determinata (M. c. n. 1). In questa rappresentazione alle linee 
di curvatura della superficie obiettiva corrispondono le linee di curvatura della super- 
ficie immagine. Le immagini delle superficie ad area minima nello spazio a curva- 
tura costante sono perciò superficie dello spazio euclideo, le cui linee di curvatura 
