superficie e dal piano tangente in esso punto, la prima di queste formole può seriversi 
ni sprsoti 00 
La seconda, indicando con % la porzione di normale alla superficie nel punto, 
ove si calcola la curvatura media, compresa fra esso punto e il piano 2y, diventa 
2 
II — Soli 
(11) > 
Per le osservazioni premesse, sulle superficie dello spazio euclideo, definite dalle equa- 
zioni a derivate parziali (I) o (II), le linee di curvatura costituiscono un sistema isotermo. 
Dalle considerazioni seguenti apparirà meglio come le superficie ora trovate formino due 
classi effettivamente nuove nel gruppo delle superficie a linee di curvatura isoterme. 
5. Ciascuna delle superficie definite dalla (I) o dalla (II) corrisponde ad una 
soluzione 9 della (5) o della (6). Vogliamo ora dimostrare come, conoscendo questa 
soluzione 0, si può determinare la corrispondente superficie. Premettiamo per ciò le 
osservazioni generali seguenti. 
Se l'elemento lineare 
(11) ds° = H,° du? + H,° dv® + H,? dw? 
appartiene allo spazio di curvatura costante K, si può trovare una jale funzione 4 
di v, v, w, che l’altro elemento lineare 
(12) UZÈE= 3 H,° du? 4- H>° dv? + H,? dw? 
appartenga allo spazio euclideo, come risulta immediatamente dalla possibilità di 
rappresentare in modo conforme l'uno spazio sull'altro. Ora scrivendo che i coefficienti 
dell'elemento lineare (12) soddisfano ‘alle 6 note condizioni di Lamè, troviamo le 
Do MM 
deri te d di y) Di‘ pae Ina ubi Ù i°* 
erlvate seconde di 4 espresse per x, v, 2%, È, Vo dalle formole seguenti : 
dA TA rr; 
dudO Hi dI gw H, du dU 
DEE eo 
(13) 90 dWw H> dWw dv Hz 97 Qw 
di I SE IE 
dwdu Hs du do ' Hi dw du 
d°4 Kepioa REVERSE REA 
= 7 et _— 
I Du 2 Il ui Lihi è 29 CER no TER DI Was 
1 (2° IH (22) LE (2A) 
ul 24 (5%) T 24 H? ) iù 24 H3? (i 
d°4 K ì I Rep d_ E6 db è Ed 
= H?14 SR PA de, 
(14) dv? 2 Hs Qu. dv Hi duo do H? du 
Pie Lle e ei 
24 \dv} 24 Hg? (a 24 H,? (Gi 
Da K > I db do Eb dh E ae 
— = —-— H?7 Re SOR TE gi (0143) e 
dw° Day sr Hz Qw dw Hè du du HH? “i 
DIN ILE ERIN 
T 97 (5) 24 H}? (5) +27 H, (5) 
