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In forza delle condizioni cui soddisfano Hi, Hs, Hz (M. c. n. 1, formole (2), (3)), 
le (18) (14) costituiscono un sistema ///imi/atamente integrabile, cioè la funzione 4 
da esse determinata contiene quattro costanti arbitrarie. 
6. Prendiamo ora per sistema (11) quel sistema triplo ortogonale di uno spazio 
a curvatura costante K, che viene determinato da una superficie S ad area minima 
e dalle sue parallele, e sia 20 =0 l'equazione della superficie $; nel sistema (12) 
corrispondente dello spazio euclideo la superficie w = 0 sarà la corrispondente super- 
ficie della classe (I) o (II), ovvero ne differirà per un'inversione per raggi vettori 
reciproci. 
Considerando dapprima il caso dello spazio di Riemann, ove K=43, dovremo 
porre nelle (13) (14) 
:{w Ww w w 
H, = e5cosf —)}+ e sen i, H,=ecosf—)—-e®sen{—}, Hi=1. 
7 a a a 
Le due ultime (13) danno quindi : 
dove M, N sono funzioni di v, v soltanto. E poichè, qualunque sia w0, dobbiamo avere 
| e cos ( DL gi sn ( (€) |- DI e8 cos ( — ed sn(£ ) v| 
ne risulta che le espressioni 
e(Mdu+ Nd), e(Mdu—Ndv) 
debbono essere i differenziali esatti di due funzioni di v, v, che indicheremo con D, &. 
Tra ® e & sussisteranno le relazioni 
IP PIP dP 
1 per TR )p I EI ETA 
(9) dU 5 dU dv ; dv 
e per la funzione cercata 4 avremo la formola 
(16) i=Pcxs(7 ) + esn(£ )+w, 
essendo W una funzione della sola w. 
Possiamo supporre che la funzione W e la sua derivata W' si annullino per 
w=0, poichè, se esse assumessero invece i valori Wo, Wo, basterebbe cangiare 
rispettivamente ®, & in DH- W,, D+ aW%, il che non altera le (15), e la nuova 
funzione 
W=W_- Wo, cos (2) — aW', sen (3) 
soddisferebbe alle condizioni richieste. 
Se fra le (15) eliminiamo %, troviamo che ® deve soddisfare alla equazione a 
derivate parziali : 
d°D 999, 50 PIU 
(4) 
Qu dv TT IVvIU du du 
