SII = 
Dobbiamo ora ricercare a quali ulteriori condizioni debbono assoggettarsi ®, Y 
e W, affinchè col valore (16) di 4 siano soddisfatte le (13) (14). A tale oggetto fac- 
ciamo nelle equazioni (14) w= 0; la 3* di esse, indicando con c il valore che assume 
la derivata seconda di W per w=0, ci dà: 
e le prime due, to colla (@), A per determinare ® il sistema di equazioni: 
| DD (ia 
= g 
du at Qu IU QU Iv a 
d°D 290 dD dI IP 
(18) AE ei 
dU dv dv dU du dv 
dI 20% Cu dI dID | DD P 
VET elio i a 
ove per & s'intende sostituito il suo valore (17). Inversamente quando ® soddisfi 
le (18) e w abbia il valore (17) le (15) risultano identicamente soddisfatte. 
Se si tien conto della equazione (5), cui soddisfa 9, si riscontra facilmente che 
il sistema (18) di equazioni simultanee a derivate parziali per la funzione ® è dll: 
mitatamente integrabile, qualunque sia c, e perciò la soluzione più generale ® delle (18) 
comprende, oltre e, tre costanti arbitrarie (!). 
Ora basta introdurre il valore (16) per Z nelle due prime (13), divise rispetti 
vamente per H,, H, e addizionando o sottraendo i risultati si trova per W il valore 
seguente 
7 wW 
W=@P6 1-0) - 
quindi sarà 
(16) i-dos(£ )+ usa (È )+ec 1—cs(4) 
(*) Come si è osservato al n. 2, l’elemento lineare 
ds? = e?0 (du? + dv?) 
appartiene ad una superficie S a curvatura media costante ds: dello spazio euclideo, riferita alle 
sue linee di curvatura v, v. L'equazione media (18) è 3 escisamente l’equazione di Cayley cui sod- 
disfa la distanza normale infinitesima o=e® (essendo e una costante infinitamente piccola) fra la 
superficie S ed ogni superficie S successiva ad S in una serie di superficie che faccia parte di un 
sistema triplo ortogonale. Ora non soltanto il sistema (18) ma ben anche il seguente 
9° P _ 90 IP dé IP 
du dv do du dU 9V 
d°P d°P CA 
I SL — 9620 pera) 
| du? phi dv? 4 (: 2) 
si riscontra essere i/limitatamente integrabile; la soluzione più generale 4 di quest’ ultimo sistema 
comprende quindi, oltre c, quattro costanti arbitrarie ed è una soluzione completa dell’equazione di 
Cayley (Cf. Konig, Mathematische Annalen, Bd. 24 p. 579). Si vede quindi che: Per ogni super- 
ficie a curvatura media costante si può determinare una soluzione completa dell'equazione di Cay- 
ley, integrando soltanto equazioni differenziali ordinarie. 
