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È facile poi constatare che, essendo @ determinata dalle equazioni simultanee 
(18) e w dalla (17), col valore ora trovato per 4 si soddisfano identicamente le equa- 
zioni fondamentali (18), (14). 
7. Il sistema triplo ortogonale (12) dello spazio euclideo ha nel caso nostro per 
elemento lineare 
W Ai ) 2 
COS (È È )- e sen } dv? + 
(9), = DI e cos “I ed sn(7 1) du? + n) 
+ s duw?, 
dove 4 ha il valore (16'). Ritenendo per questo sistema triplo le notazioni del n. 2 
della mia prima Memoria sui sistemi di Weingarten (!), si ha 
dad _ VU L_4Uh _ DI 
PRIDE A a 
Ed ora basterà fare in questa e nella (19) w= 0 per avere le formole relative 
alla nuova superficie S a linee di curvatura isoterme. Indicando dunque con 7,73 i 
raggi principali di curvatura della S, corrispondenti alle linee di curvatura w=cost!*, 
v=cost!*, avremo 
(20) = — l(steo), ME D+ e? ) 
Pi U Tg 4 
e per l'elemento lineare di S 
(21) des SID, + dv). 
La superficie S, per quanto rr detto al n. 4, o è una superficie S' che 
verifica l'equazione a derivate parziali ivi segnata (I), o si ottiene da una tale super- 
ficie con inversione per raggi vettori reciproci. Ed anzi siccome ogni inversione dello 
spazio euclideo conserva gli angoli, è chiaro che dando alla costante c un conveniente 
valore, si può mutare la S in una qualunque sua trasformata per raggi vettori reci- 
proci. Possiamo domandare quale valore converrà dare a c per ottenere un'effettiva 
superficie S' della classe (I). Per trovare questo valore di e, osserviamo che 4 deve 
allora esser dato, per la (9) dalla formola 
(22) = 
Citato) fiati rs 
1 
1 
4a? 
Ora l'eguaglianza : 
da? + dy? + de? i H,° du*+ H,° dv* + H3? dw° 
richiede che le nove quantità 
DIA 
Hi; du, ‘H, du H, d 
i de kdy, dh de 
H, dv H, dv ri dv 
MIO JA 
H; 30 Hs dw Hi dw 
(1) Annali di Matematica. T, XII, serie 2.4 
