— olo — 
Questa, ove si cangi 9 in 9+-« e si determinino ‘convenientemente le costanti 
«, m può sempre ridursi alla forma (5) o (6) del n.2, eccettuato il caso in cui si 
abbia Kg cioè quando si tratti delle superficie a curvatura media costante 
x = È immerse nello spazio di Lobatschewsky a curvatura K= — n. In quest'ul- 
timo caso, prendendo m =, la (27) diventa: 
TO DO! 
rl —+—-= 
0) QU? di dv 
e 
che è la nota equazione da cui dipendono le superficie ad area minima dello spazio 
euclideo; l'elemento lineare (25) appartiene allora appunto ad una tale superficie. Si 
può dire adunque che le superficie a curvatura media costante i dello spazio di 
Lobatschewsky, colla curvatura K-_L , sono applicabili sulle superficie ad area 
minima dello spazio ordinario. 
Per la forma che hanno le equazioni (27), (27°) è chiaro che si potranno ripe- 
tere le considerazioni del n. 3 e quindi le superficie a curvatura media costante dello 
spazio di Riemann o Lobatschewsky sono suscettibili delle medesime flessioni, che ivi 
abbiamo osservato per le superficie ad area minima. 
10. Facendo dello spazio a curvatura costante la nota rappresentazione conforme 
sullo spazio euclideo, le immagini delle superficie a curvatura media costante saranno 
superficie dello spazio ordinario a linee di curvatura isoterme; queste comprenderanno 
evidentemente, come caso particolare, le superficie studiate ai n' 6, 7,8. 
Per trovare le equazioni caratteristiche delle nuove superficie, ci riferiremo anche 
qui (prescindendo da inversioni per raggi vettori reciproci) a quella determinata rap- 
presentazione conforme del n. 4, che si ottiene prendendo per espressione dell'elemento 
lineare dello spazio a curvatura costante la (9) o la (10)'e riguardando «, y, & come 
coordinate cartesiane ortogonali di un punto nello spazio euclideo. 
Sia «= (2 ,y) l'equazione di una superficie qualunque S dello spazio di Rie- 
mann o di Lobatschewsky, definito dalla espressione (9) o (10) dell'elemento lineare. 
Occupiamoci in primo luogo di ricercare l'espressione H' della curvatura media della 
superficie S, pensata come esistente nello spazio curvo. 
Per questo applicheremo le formole generali date da Voss nel 16° volume dei 
Mathematische Annalen ('). L'equazione (11) p. 149 di questa Memoria ci dà l’equa- 
zione di 2° grado in @ 
iaia) A20 e 
VU UT 
DE cai d33 0 — Pao 
y/U VU 
(1) Zur Theorie der Transformation quadratischer Differentialausdriiche und der Krimmung 
hòherer Mannigfaltigheiten, pag. 129. ss. 
