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In fine noteremo come sia facile verificare sulle equazioni (III), (IV) che le su- 
perficie a curvatura media costante dello spazio di Riemann o di Lobatschewsky cor- 
rispondono, come quelle dello spazio euclideo, ad un problema di minimo relativo. 
E infatti si ottengono appunto le equazioni (III) o (IV) proponendosi di chiudere in 
questi spazî un volume di grandezza data con una porzione di superficie avente la 
minore area possibile. 
11. Resta ora che dimostriamo come, nota una soluzione 6 dell'equazione (27), 
si possa trovare la corrispondente superficie della classe (III) e (IV). I calcoli da 
farsi sono perfettamente simili a quelli eseguiti ai n. 6, 7 e però ci limiteremo qui 
a considerare il caso speciale notevole, già sopra ricordato, in cui la (27) si riduce 
alla (27); allora da ogni speciale superficie ad area minima dello spazio ordinario 
i i pt 
si deduce una soluzione 0 dell'equazione stessa. In questo caso, essendo H ai 
l'equazione (IV) prende la forma 
7 2 
Vip 
Procedendo come ai ni 6,7 e indicando con e una costante arbitraria, troveremo 
1-@coh(2)4 wsenb( )E cfcosn (È 1 
essendo % espressa per ® dalla formola 
jim eo + D° — e?! ( so DÌ 
| dv 
mentre ® è definita dal sistema illimitatamente integrabile di equazioni simultanee 
d°D 20 ID __2d0ID 
du? du du dv 
d'D___2030_, 2030 
dUIV dv IU du Ww 
DIDO O WIP, 399 
= e (D+ e) — —— 0_1)D. 
dv° AO) du QU WEDEY prc 
La superficie S corrispondente dello spazio euclideo, colle linee di curvatura iso- 
terme, avrà per elemento lineare 
d 
= (Oo) + (e°0+1) & 
e i suoi raggi principali di curvatura saranno dati dalle formole 
I _tieLa ee], L_lieia1-40). 
Questa superficie S si dedurrà da una superficie S' della classe (IV*) con un’ in- 
versione per raggi vettori reciproci. Volendo che essa appartenga alla classe (IV), 
si dimostrerà, come al n. 8, che bisogna porre c = 0. 
12. Il sig. Weingarten, al quale ho comunicato i risultati del presente lavoro 
ed in particolare la esistenza delle nuove classi di superficie a linee di curvatura 
