— 518 — 
isoterme definite dalle equazioni (I), (Il); (ITI) e (IV) dei ni 4, 10, ha voluto gen- 
tilmente comunicarmi una sua verifica per constatare direttamente, sulle equazionì 
differenziali, la proprietà in discorso di queste superficie. Ed è col permesso dell’ illu- 
stre geometra che qui riproduco la sua bella dimostrazione. 
È noto che, scelto sopra una superficie qualunque un sistema di coordinate cur- 
vilinee , v ed espresse quindi le coordinate cartesiane ortogonali x, y, 2 di un punto 
mobile sulla superficie e i coseni di direzione X, Y, Z della normale per i parametri 
u,v, sussistono le relazioni seguenti 
NI DI DIN dI dY DL 2 de 
SAN eee CCA Ma e cute 
(28) du du dV dU dU i dv dU dU dv 
TU PC da dae dI 97 dy dI de de 
È MEN N NE 
dv du dv dv dU dv dI du dv 
dove M, N, M’, N' sono quattro convenienti funzioni di v, v. Indicando poi con 7, 73 
i raggi principali di curvatura e con 
pala: fa 
Pi, Pa P1 Pa 
la curvatura media e la curvatura assoluta della S, si ha 
(29) H=M-4N', K — MN —M'N. 
Ponendo inoltre, per brevità 
(30) aa = ape vg. 
Pi Pg 
il criterio dato da Weingarten (!) per riconoscere se sopra la superficie S le linee di 
curvatura costituiscono un sistema isotermo sì traduce qui nella condizione che l’espres- 
sione differenziale 
c 1 SH dH S ,dH ,dH LS 
(31) Ure IO > i N37) 44 (1 >, + N Da) do a | 
sia il differenziale esatto di una funzione w di v, v. 
Se ora assumiamo sulla S per linee coordinate quelle definite dalle equazioni 
u=a (Xx+ Yy+Ze) + aX+ bY+ e4+C 
) 
(82 
o=3 (2 +y° +e) + ac 4 by +e 4 00 
dove @, a, d, c, C, C' sono costanti arbitrarie, avremo 
Nasi, NE0E 
come si riscontra subito derivando parzialmente le (82) rispetto ad w,v e tenendo 
conto delle (28). Dalle (29) segue allora 
WI JE, M=—- K, 
sicchè, osservando che per la (30) 
dK=+HdH—+ de, 
la (31) diventa Di È RR DE 
(33) U=3dloget FE. 
(1) Veber die Differentialgleichung der Oberflichen, welche durch ihre Krimmungslinien 
in unendlich kleine Quadrate getheilt werdenkònnen (Sitzungsberichte der Berliner Akademie 8 no- 
vember 1883). 
