— 519 — 
La trasformazione indicata vale evidentemente per qualunque superficie. Ma sup- 
poniamo ora che per la superficie S la curvatura media sia data dalla formola 
m=at 3 
v 
allora, avendosi 
dH__ 124, 
dv PAIR: 
risulterà 
1 I5H 1 
u= gUloget] > do= g Alog (02), 
cioè U sarà un diiferenziale esatto. Se ne conclude che sulle superficie definite dalla 
equazione a derivate parziali del 2° ordine 
e(Xx + Yy4- Ze) +aX+0bY+ed+C 
(10) + ax + by + es+ O 
(34) H=2 
le linee di curvatura costituiscono un sistema isotermo. 
È facile vedere che, prescindendo da trasformazioni di coordinate e da inversioni 
per raggi vettori reciproci, la (34) definisce appunto le superficie delle classi (III), 
(IV) n. 10. E infatti se la costante @ è zero, basta prendere per nuova direzione 
dell'asse « quella, che ha i coseni di direzione proporzionali ad 4, 0, c e spostare 
lungo il nuovo asse 4 l'origine delle coordinate, con che la (34) si riduce alla (IV). 
Se poi la costante @ non è zero, possiamo fare evidentemente @=1, e cangiando 
rispettivamente «, y,< in a—a, y—d, c—z la (84) diventa 
ETTPL TW 
Ora se si dà a 4% un valore positivo questa formola coincide colla (IIL). 
Siccome poi in generale l'elemento lineare 
da? 4 dy + de? 
(4 y+ +4 
appartiene allo spazio di curvatura costante K = 4%, risulta dalle considerazioni del 
n. 10 che per % negativo la (34) definisce una classe di superficie trasformate per 
raggi vettori reciproci delle superficie della classe (IV). 
In fine se X=0 le superficie (34) si deducono con inversioni per raggi vettori 
reciproci dalle superficie a curvatura media costante dello spazio euclideo. 
84) 4 y°+ 4 4X)H4 4 = ‘coste. 
Y 
ds? 
