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Dunque le curve / ed 7, si segano in Ag (o B3) e nei punti analoghi 
in numero di 7. E le curve L ed L' si segano nel punto cuspidale A 
(e nei punti analoghi pure in numero di 7) ed ivi sono entrambe toccate dal 
piano a. 
Le cose precedenti mettono in evidenza che il numero totale delle tangenti 
comuni alla curva / ed alla conica c è 4u+27 e che perciò se v dinota la classe 
di { si ha: 
3 v=2U+% 1) 
41. La curva ! presenta generalmente un certo numero è, di punti doppî i 
quali hanno origine dall’esservi un egual numero di rette del sistema (p) che sono 
corde bisecanti la linea tripla L della superficie ®. Se A, (o Bj) è uno di questi 
punti doppî (fig. 6), e siano w e v le tangenti della conica fondamentale passanti 
per esso, è evidente che queste rette sono due lati comuni (in direzione) ad una 
‘coppia di triangoli A, A» A3, Bi B» B3, inscritti nella curva / e circoscritti alla 
conica menzionata. Il punto C, comune alle A» A3, B, B3, è un punto doppio per la 
curva l, e la retta del sistema (p), guidata per esso, è una corda bisecante della 
curva doppia L' della superficie ®. La curva 7, poi tocca la conica c nei 
punti di contatto con le tangenti « e v (35). 
In generale la curva { non è dotata di punti di regresso che sieno generati 
come casi particolari dei punti doppî di cui ora si tenne parola. Però, la curva /! 
può ammettere altri punti doppî od anche punti di regresso se la curva L ammette 
essa pure di tali singolarità. È infatti evidente che ciascuna delle terne di rette del 
sistema (p), passanti per i è punti doppî di L interseca il piano rappresentativo x 
in tre punti doppî di /. E così, ciascuna delle terne dirette del sistema (p) passanti 
per gli e punti di regresso di L, interseca 7 in tre punti di regresso di /. 
Con gli stessi ragionamenti fatti al n. 35, a proposito della curva /,, si trova 
qui facilmente che ogni terna di punti doppî di /, generati come ora si disse, dà 
origine a sei rami della curva /, a due a due tangenti alla conica fondamentale c 
nei punti di contatto di essa coi lati del triangolo determinato da quella terna. E 
che parimenti per ogni terna di punti di regresso di /, i lati del triangolo da essa 
determinato toccano c in punti in ciascuno dei quali vi sono due rami di 7, che 
hanno ivi entrambi un contatto tripunto con c. 
Segue da tuttociò e da quanto è detto precedentemente (40) che il numero dei 
punti comuni a c ed , è eguale alla somma: 40j+ 27-12 d+ 185, e poichè la 
curva /", è dell’ordine 4u (u—1), (39) così deve essere : 
401 +27- 120 +12:=8p (u—1) 2) 
L'eliminazione di 7 da questa equazione, mediante la 1), conduce alla seguente : 
yv=2u (2u—1)—20,— 3 (20+8e). 3) 
la quale non è altro che la nota formola di Plicker applicata alla curva /. 
42. Indico con @ il rango della curva L e con n il numero delle corde bise- 
canti la curva stessa che passano per un punto arbitrario dello spazio. In allora 
si ha: 
= p(v—-1) —2(0+0)—3: 
per cui la 3) può scriversi: 
