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le due rette sovrapposte A, As, B, B3 in tanti punti che sono doppî per la curva /, 
mentre le tangenti di c, uscenti da A, e Bs determinano sulle Aj As, Bi Ba, i due 
punti A3 e Bg che sono punti semplici tanto per la curva 7 quanto per la curva [. 
Similmente si trova che sulla retta A, As B3 esistono 2u—4 punti doppî della 
curva , e che inoltre questa curva passa una volta tanto per A» che per Ba. 
Segue da ciò che ciascuno dei dò, punti doppî della curva! generati 
come il punto A, (o Bi), dà origine a 2(24—4) punti doppî di /, ed a 
quattro intersezioni di quest’ultima curva con la curva L 
Dinotando con R, od S, uno dei punti doppî di /, di cui ora si è parlato, se- 
condochè esso ritengasi come l’intersezione di 7, con l’una o con l’altra delle due 
vette sovrapposte A, Az, Ai B3, la seconda tangente di c guidata per Rj taglierà la 
A4 Ay in un punto Ty della curva / ed i triangoli Ty Ai Ri, Ti B; Si, coincidenti, 
rappresenteranno un punto doppio della curva doppia della superficie ®. Tale punto 
è situato sopra la generatrice doppia p, della superficie stessa, che passa per Ax (0 Bi). 
Il triangolo A4 A» A3 ha due vertici Ay, A3 sulla curva 7, epperò esso rap- 
presenta un punto doppio della curva doppia di ® il quale giace sulla retta p e sulla 
curva tripla L di ®. Dell’istessa proprietà gode anche il triangolo B, B, B3 per cui 
sì conclude che ciascuna delle dò, generatrici doppie (41) della superfi- 
cie ® contiene 2(2u—4)+2=47—6 punti doppî della curva doppia. 
In quanto ai punti di contatto delle rette A, Ax, Ai Ax, con la conica fonda- 
mentale, i quali sono punti di contatto di questa conica con la curva 7 (41) ognuno 
di essi considerato insieme ad A; (pensato come doppio) rappresenta un punto della 
sviluppabile fondamentale nel quale essa è toccata dalla curva doppia di ® (10). 
46. Sia Aj A» Ag (fig. 7) una delle è terne di punti doppî della curva /, ge- 
nerata da un punto doppio A, della curva L (41), permodochè il triangolo A, As A3 
è circoscritto alla conica fondamentale c. Indicando con 7, r s,s; t, # le coppie di 
rami di curva passanti rispettivamente per A1, Aa, Ag, la tangente di c, infinitamente 
vicina ad As A3, segherà i rami s ed s' in due punti B, e C, ed i ramite t nei 
due punti Bg, Cz, tali che le tangenti di c, passanti per B, e Bs, si taglieranno ‘in 
un punto Bj del ramo r e le tangenti di c passanti per C, e 03 si taglieranno in 
un punto C, del ramo 7°. 
I punti D e D', l’uno comune a Bj Bs e Ci 03 e l’altro comune a Bi Bz e 
C, C, appartengono alla curva 7, ed è evidente che quando la tangente Ba Cs Bs 03, 
di c, cade in As A3, mentre i due punti By e C4, di 2, si riuniscono in A,, i punti 
De D', di /",, sì riuniscono pure in A4 e formano ivi un punto doppio della stessa /,. 
Perciò, se come si è supposto, la Ba C, B3 ©3 è infinitamente vicina ad Ag A3, le 
rette D A, D' A; sono le tangenti di /", nel punto A,. 
Queste tangenti sono distinte da quelle della curva { nello stesso punto A4 perchè 
i punti D e D' non cadono generalmente sui rami r ed 7°. Però, se A1, Ao, Az, in- 
vece di punti doppî fossero punti di regresso della curva /, le As B, ed Ag Ca, tan- 
genti in Ag ai rami s ed s', sarebbero coincidenti e quindi coincidenti i punti Ba, Ca 
e le rette Bs Bi, Ca Ci. In modo analogo si vede che in tal caso coinciderebbero 
insieme anche le rette B3 Bi, Cz Ci permodochè il punto D cadrebbe in Cj sul ramo r 
ed il punto D' in Bj sul ramo r°. 
