Segue pertanto da tuttociò che in ciascuno dei 30 punti doppî (41) 
della curva ! vi è pure un punto doppio della curva /,, il che dà 
origine a 129 intersezioni di queste due curve. 
47. Dinotando con 1, 2, 3, oppure con 1', 2", 3' i vertici del triangolo Ax Ax A3, 
‘sopra considerato, secondochè essi ritengonsi come situati sopra l’una o l’altra delle 
curve l ed ,, i sei triangoli 12 37, 1' 2° 3; 13 27, 1° 3° 2; 82 1’, 3' 2' 1 rappre- 
sentano tanti punti della curva doppia della superficie ® (39) riuniti nel punto doppio A 
della curva tripla L e quindi A è un punto sestuplo della curva doppia anzidetta. 
Dunque per ogni punto doppio della curva tripla della superficie ® 
passano sei rami della curva doppia di questa superficie. 
Giù s'è visto (41) che per ciascun punto di contatto della conica c con i lati 
del triangolo A, Aa Az passano due rami della curva /", che ivi si toccano tra di 
loro e toccano c. Ora, tali punti di contatto, presi insieme ai punti A1, Ag, Ag, con- 
siderati come doppî, rappresentano sei punti di contatto della curva della superficie ® 
colla sviluppabile fondamentale, i quali giacciono a due a due sulle generatrici di ® 
passanti per i vertici del triangolo A1 As Ag (10). 
Infine, la retta As A4, all’infuori di Ag ed A, taglia di nuovo la curva / in 
2u,—4 punti e le tangenti di c uscenti da essi (esclusa la As A) incontrano la As A» 
in altrettanti punti doppî della curva /,. Ripetendo la stessa considerazione per la A3 A1 
si ricava che la Ag A3 oltre i due punti doppî A» ed A3 contiene altri 2 (2u—4) 
punti doppî di /., e quindi sui lati del triangolo A1 A» A3, escludendo i ver- 
tici, si trovano 6(u—4)=12(u—2) punti doppî della curva Za. 
Da ciò si conclude facilmente che sopra ciascuna delle generatrici 
doppie di ® passanti per i vertici del triangolo A, Ax Az (e.sulle 
generatrici analoghe) giacciono 2(2u—4) punti doppî della curva 
doppia di D. 
48. Se i vertici del triangolo A, Ag A3 sono tre punti di regresso della curva /, 
e quindi anche della curva (46) essi rappresentano un punto di regresso A della 
curva tripla L della superficie ®. E poichè i due rami di / uscenti per es. da A, 
sono entrambi toccati dai due rami di 7, uscenti da questo stesso punto, ne segue 
che in esso. le due curve hanno sei punti comuni. In ciascuna delle e terne 
di punti di regresso della curva / (41) sono dunque assorbite 18 in- 
tersezioni di tale curva con la curva l' 
L’ identità di queste curve sui punti di regresso ora considerati ed il potersi 
riguardare un punto di regresso come un caso particolare di un punto doppio, mo- 
strano (47) che per un punto di regresso della curva Lpassano seirami 
della curva doppia della superficie ® i quali sono ivi tangenti ad 
entrambi i rami della stessa curva L. 
Questi sei rami, presi a due a due, costituiscono tante cuspidi ordinarie della 
_ curva doppia anzidetta. 
Com’ è noto (41) per ciascuno dei punti di contatto della conica c coi lati del 
triangolo A, As Az passano due rami della curva 7, entrambi aventi un contatto 
tripunto con c. Il sistema di questi punti di contatto e dei regressi A1, Aa, Az, rap- 
presenta sei punti della curva doppia della superficie ® situati a due 
