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a due sulle generatrici cuspidali passanti per Ai, Ag, Az, e sulla svi- 
luppabile fondamentale (10). È 
In ciascuno di tali punti la curva doppia di ® ha un contatto tripunto con la 
sviluppabile anzidetta. 
Mediante considerazioni affatto analoghe di quelle del n. 47, si deduce poi che 
sui lati del triangolo A A> A3 (escludendo i vertici) si trovano 12 (2—2) 
regressi della curva /, e che ciascuna delle generatrici della su- 
perficie ® passanti per Ai, Aa, Ag, contiene 2(2u—4) regressi ordi- 
narî della curva doppia. 
49. Un triangolo A1 A» A3 (fig. 8) sia inscritto nella curva 7 e circoscritto alla 
conica fondamentale c. Nel supposto che la curva / passi per A; è evidente che 
sulle rette A3 Ag ed A A3 vi saranno rispettivamente due punti B, e Ci, della curva /, 
non accoppiati nel senso del n. 39, ma tuttavia sopra una tangente di c. Ora sì 
vede facilmente che le rette A, Bi e C Bi, tangenti di c uscenti dai due punti A3, Ci 
di Z non accoppiati nel predetto senso, si tagliano in un punto B, della curva 7, In 
modo analogo si trova che questa curva passa anche per C, per cui i vertici del trian- 
golo A, Bi €; sono esattamente in condizioni identiche nella questione attuale. 
Vi sarà dunque una tangente di c la quale taglierà le rette A, Bi e Ci Bi ri- 
spettivamente nei punti By e Bz (accoppiati) della curva 7 ed un’altra tangente 
di c che taglierà A, C, e Bi Ci rispettivamente nei punti C, e 03 (accoppiati) 
della stessa curva L. 
Inoltre è manifesto che il punto D, comune ad Ag Az e Bi Ci è un punto della 
curva /, il quale viene generato due volte: l'una dalla intersezione delle tangenti di c 
(esclusa la A3 Ci) uscenti da A3 e Ci; l’altra dalla intersezione delle tangenti di c 
(esclusa la A, Bi) uscenti da A» e Bi, le quali coincidono rispettivamente con le 
prime due ora dette. Similmente si prova che sono punti doppî di /", il punto E,. 
comune ad A; C, e Bs Bg ed il punto F comune ad A; Bi e Cg 03. 
Si conclude adunque che vi è un certo numero è, di punti comuni 
alla curva l ed /, i quali sono distribuiti in terne. Ognuna di 
queste terne consta di un triangolo circoscritto alla conica fon- 
damentale ed inscritto in entrambe le curve e dà origine a tre 
punti doppî della curva ly. 
I tre piani tangenti della sviluppabile fondamentale che passano per i lati del 
triangolo A, By C; si tagliano a due a due secondo tre generatrici della superficie ®, 
le quali concorrono in un punto P. Questo è dunque un punto triplo, della curva doppia 
di ®, il quale è rappresentato dal triangolo menzionato. A 
In quanto ai triangoli A1 Ag Ag; Bi B, B3, €, 0» C3, essi rappresentano tre 
punti A, B, C della linea tripla L, della superficie ®, le congiungenti dei quali 
essendo situate rispettivamente nei piani P A, Bi, P_Ax C,, P_ By GC}, tangenti alla 
sviluppabile fondamentale, formano un triangolo inscritto nella curva L i cui lati 
toccano (ciascuno una sol volta) quella sviluppabile. 
Infine, le rette del sistema (p) passanti per i punti D, E, F sono corde bise- 
canti la curva doppia della superficie ©. | 
50. Le precedenti ricerche (40,0; 47 e segg.) conducono ora a stabilire che il 
