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numero totale dei punti comuni alla curve 2 ed /" è esprimibile con la somma: 
t+8u(u1—1)+40+120+18:+0., per cui (44) si deve avere: 
t+ Sp (u—1)+40,+120+18:+0d,= 81° (1—1) 
E tenendo conto delle equazioni del n. 42, tale eguaglianza fornisce facilmente: 
di —8u (1) (1_—2)+ 380. 
Ricordando qui il significato del simbolo è, (49) si hanno i seguenti teoremi: 
Inunacurvagobba d'ordine e di rango @ si possono inscrivere 
du (u—1)(1—2)+@triangoli circoscritti ad una medesima svilup- 
pabile di terza classe e quarto ordine data ad arbitrio. 
L'a curva doppia di una superficie ® avente per linea tripla una 
curva d'ordine p. e di rango @ è dotata in generale di 8u(u—1) 
(1—2)+ 30 punti tripli. 
51. Finalmente suppongo che Ai Bi Ci Di (fig. 9) sia un quadrilatero circo- 
scritto alla conica fondamentale ed inscritto nella curva /, tale però che il punto X, 
comune alle A, B, e C; Di, ed il punto Y, comune alle A Dj e Bi C1, non cadono 
sulla curva ? anzidetta (‘). 
In allora è manifesto che tanto X che Y sono punti doppî della curva /,; che 
inoltre, le generatrici della superficie ® passanti per i punti A, e Ci tagliano le 
generatrici della superficie stessa, passanti per i punti Bj e Dj determinando così 
quattro punti della curva doppia i quali ‘sono rappresentati dai triangoli A4 Di X, 
Bi (071 X, Ai Bi VE, (07 Di NE ò 
Le generatrici ora considerate si appoggiano in quattro punti A, B, C, D, della 
linea tripla L ed il quadrilatero A B C D è in pari tempo inscritto in tale curva e 
circoscritto alla sviluppabile fondamentale. 
Indicando con d3 il numero dei punti doppî della curva /,, generati come i punti X 
ed Y, se si pon mente che questa curva è dell’ordine 4p (2—1), (39); della classe 
2. (22+ 1) —v (4u— 7), (43); ha d,+-2 (2u—4)d,+3d+12 (1—2) d +32 + d3 
punti doppî ordinarî; ha 3e+12(u—2): cuspidi ordinarie (°); ha 80 punti in cia- 
scuno dei quali si toccano due rami di curva e 8: punti in ciascuno dei quali due 
rami di curva hanno tra loro un contatto tripunto (41) (°); applicando la prima 
formola di Plicker e tenendo conto delle equazioni giù stabilite (42, 50) si trova 
per d3 il valore seguente: 
= 81 (u—1)(1—2)+38u(u—1)+ 67 
Di qui si ha il teorema: 
In una curva gobba d'ordine p per la quale sia y il numero 
delle corde hisecanti che passano per un punto arbitrario dello 
(1) Ciò esige che i vertici del quadrilatero non siano accoppiati nel senso del n. 39. 
(2) Cfr. successivamente i n. 41, 45, 46, 47, 50, 48. 
(3) Le due ultime singolarità, ora nominate, contribuiscono ad abbassare rispettivamente di 
quattro e di sei unità la classe della curva Vu poichè la prima equivale a due e la seconda a tre 
punti doppî successivi. 
