. 
— 103 — 
da ciò che per la curva L si può far passare un’altra superficie D' del 4° grado. Ciò 
avviene in generale, ma se nella conica /, è inscritto un quadrilatero in pari tempo 
circoscritto alla conica fondamentale (37) la conica /, ha due punti doppî P e @ dove 
si tagliano le coppie di tali opposti AB, CD; BC, AD, epperò la conica consta di 
due rette sovrapposte nella retta PQ. Di qui si vede che in questa retta esistono in- 
finite altre coppie di punti analoghi a P_e Q e cioè nella conica l, sono in- 
scritti infiniti quadrilateri circoscritti alla conica fondamentale. 
In questo caso, la superficie D' è un’iperboloide (7). 
I quattro punti A, B, C, D, considerati come fissi, individuano un fascio di co- 
niche e queste infinite superficie ® del quarto grado, le quali hanno evidentemente 
tutte le loro linee doppie sull’iperboloide D'. Fra le coniche del fascio vi è la coppia 
di rette AC e BD, le quali rette insieme a PQ costituiscono un triangolo coniugato 
rispetto alla conica fondamentale. Le AC e BD, invece di una superficie del quarto 
grado, propriamente detta, forniscono due iperboloidi i quali si tagliano secondo una 
generatrice (passante per il punto comune a quelle due rette) e secondo la cubica L. 
Dunque: 
Se tre rette formano un triangolo coniugato rispetto alla co- 
nica fondamentale, i tre iperboloidi determinati dalle rette del 
sistema (p) guidate per i lati del triangolo, contengono una mede- 
sima cubica. ì 
Tre iperboloidi formati in rette del sistema (p), e supposti qualunque, hanno 
per direttrici, nel piano della conica fondamentale, i lati di un triangolo nel quale 
sono inscritti due triangoli (36) circoscritti alla conica ora detta. Questi triangoli 
rappresentano due punti che giacciono sopra tutti tre gli iperboloidi considerati epperò: 
Tre iperboloidi formati con rette bitangenti di una sviluppa- 
bile di quarto ordine e terza classe, passano per gli stessi due 
punti non situati sulle generatrici comuni. 
Rappresentazione piana della superficie fondamentale £. 
54. Nel piano rappresentativo x (15) si considerino due tangenti qualisivogliano 
della conica fondamentale c e siano Ri, Ri i loro punti di contatto, Rs il loro punto 
comune. Se sopra le rette R', R,, Ri R, si prendono rispettivamente i punti Rz ed 
Ri, infinitamente vicini ad Ra, i triangoli R, R, R;, R, R, R3 rappresenteranno 
due punti R ed R, della sviluppabile fondamentale £ (15) i quali giacciono sulle 
generatrici passanti per R, ed R e sulla retta del sistema (p) guidata per Ra. 
Di qui, in sostanza, si vede che un punto dato in 7 individua in modo unico due 
punti della superficie fondamentale. Viceversa, dato un punto R, di questa superficie, 
esso ne determina un altro R', della superficie stessa (30) permodochè la retta RR' 
(del sistema (p)) individua un punto unico R, del piano rappresentativo. 
Sotto un tale.aspetto, la superficie fondamentale si può dunque rappresentare in 
un modo affatto particolare. Ad ogni punto del piano 7 ne corrispondono due ge- 
neralmente distinti, sopra Y, che chiamerò punti associati perla ragione sopra 
indicata. 
