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Una generatrice qualunque di X, e la conica sezione col piano tangente lungo 
la generatrice stessa, sono rappresentate dà quella tangente della conica fondamentale 
che è la traccia sopra 7, del piano tangente anzidetto. 5 
Un punto della cubica s, spigolo di regresso di x, ed il punto della curva che 
gli è infinitamente vicino, sono associati ed hanno per imagine un punto della conica 
fondamentale. La retta del sistema (p) che unisce questi due punti associati è una 
generatrice di Y. : 
55. Il problema di determinare sulla superficie £ la curva corrispondente di una 
curva data comunque nel piano 7, è stato studiato precedentemente trattandosi della 
superficie gobba ® luogo delle rette del sistema (p) che si appoggiano alla curva data. 
La curva richiesta non è altro che la linea di contatto delle superficie X e ® (8 e segg). 
Essa gode della proprietà di contenere tutti i punti associati de’ suoi punti e cioè 
di essere una curva associata di sè medesima. 
Se ora sulla superficie X è data una curva algebrica L quale sarà la curva 
associata ? 
Sia y, l'ordine di L; € il numero di punti nei quali questa curva incontra una 
generatrice qualunque di X; x il numero dei punti di L che giacciono in una mede- 
sima conica inscritta in x, Indicando con pw, &, x le quantità analoghe a u, È, x, 
che si riferiscono alla curva L', associata di L., si hanno evidentemente le eguaglianze: 
2éE+x=p  28+v%=p!. 
Nel piano rappresentativo 7, sia 9 la generatrice di contatto con la superficie X. 
In allora, se per i & punti di L situati sopra g si guidano le tangenti della conica 
fondamentale c, e se nei x punti di L situati in c si guidano del pari le tangenti 
di questa conica, si ottengono È + x generatrici di quella superficie gobba ® (8) la 
quale ha per linea di contatto con X l’insieme delle due curve L ed L'. Le prime & 
tangenti toccano c nei x punti di L' e le seconde x tangenti tagliano 9 nei é punti 
pure di L' per cui deve essere x —£ e #—=x. Le eguaglianze soprascritte divengono 
adunque * 
QE+-g=u  25+-E=m. 
La superficie ® ha ancora una curva / d’ordine £+x=&+&, nel piano x (7) 
epperò essa è dell’ordine 2 (£-+ &'), ('). La curva / è-l’imagine delle curve L ed L'. 
56. Nelle equazioni del n. precedente si supponga u==3, ossia la curva L sia 
del terzo ordine. Poichè È non può essere zero ne &' negativo, così sarà &=1. In 
allora & =1 e u=3, cioè la curva L', associata di L, è pure del terzo ordine. 
Le curve del terz’ordine, della superficie X, sono piane e gobbe. Le prime sono a 
due a due associate e la imagine comune di una coppia di esse, nel piano 7, è una 
conica bitangente alla conica fondamentale della cui costruzione si è parlato al n. 25. 
Qui è notevole che non solo l’una di queste curve di terzo ordine è il luogo dei punti 
associati dei punti dell’altra, ma ben anco il piano della prima corrisponde univoca- 
mente a quello della seconda con la stessa legge con cui si corrispondono i punti 
della superficie fondamentale X. Ciò d’altronde è stato anche notato altrove (30). 
(!) Ciò che si disse del piano 7 si può naturalmente ripetere per ogni altro piano tangente della 
sviluppabile fondamentale. 
