— 105 — 
La superficie ® che tocca X lungo due curve piane associate, di terz’ordine, è 
del quarto grado (55). 
Una cubica gobba, della superficie fondamentale, è una curva associata di sè mede- 
sima e per essa la superficie ©, come è noto (4), è un iperboloide, il quale nelle attuali 
considerazioni si presenta come la sovrapposizione di due superficie di secondo grado. 
57. Si supponga ora che la curva L sia del quinto ordine per cui y==5. In tal 
- 
caso, dalle formole del n. 55 si vede che per £ sono possibili i due valori 1 e 2. 
Se E=1, &—3, u=7 cioè la curva I, associata di L,è del settimo ordine. 
Se per una cubica gobba k, della superficie X, si fa passare una superficie di secondo 
ordine, essa taglia X£ lungo la cubica anzidetta e lungo una curva L, di quinto ordine. 
Quest'ultima curva è appunto caratterizzata dai valori &—=1 e &=3. Infatti, ogni 
generatrice di X taglia la superficie di secondo ordine imaginata in due punti dei quali 
uno è sulla cubica & e l’altro sulla curva L. Ogni conica di 2 ha con la superficie 
segante di secondo ordine, quattro punti comuni, uno dei quali, come risulta dalle 
cose precedenti (56) è sopra & e gli altri tre giacciono in L. Perciò la curva L co- 
struita in tal modo appartiene alla famiglia delle linee di quinto ordine di cui si tratta 
nel caso sopra considerato. 
Nell'ipotesi fatta di u1==5, se si prende £=2 si ha &=1 e p=4, vale a dire 
la curva L', associata di L, in questo caso è una sezione piana della superficie X. 
L’imagine /, delle curve L ed L', è una curva di terzo ordine la quale venne stu- 
diata al n. 17 e segg. dove tale curva è designata col simbolo cag. 
Le linee piane di quarto ordine, della superficie £, sono in numero triplamente 
infinito, epperò vi è ùna tripla infinità di linee di quinto ordine, della superficie stessa, 
caratterizzate da &«—=2, &=1. Una qualsivoglia di queste linee si può ottenere dal- 
l’intersezione di X con un iperboloide avente con X tre generatrici comuni’ ed è evi- 
dente che il piano dei tre punti A, B, C, di contatto di tali generatrici con la cubica s 
(spigolo di regresso di Y) contiene la curva associata di quella di cui si tratta. 
L’iperboloide segante taglia la cubica s in sei punti a due a due riuniti nei 
punti A, B, C, i quali sono punti d’inflessione per la curva L di quinto ordine perchè 
i piani tangenti dell’iperboloide in quei punti contengono le generatrici di 2 passanti 
per essi. Invece i punti A, B, C sono cuspidi per la curva L' di quarto ordine. 
58. Riprendo ora a considerare il caso generale nel quale L è una curva alge- 
brica d’ordine p tracciata sulla superficie £. 
Questa curva incontrerà in un certo numero .di punti la cubica s (57); indicando 
con P uno di questi punti, possono darsi tre casi differenti e cioè: In P_la curva L 
tocca la cubica s e non vi ha un punto d’inflessione; in P la curva L tocca la cu- 
bica s ed ammette un punto d’inflessione; infine in P la curva L ammette una 
cuspide. 
Nel primo caso è evidente che la curva L', associata di L, tocca essa pure la 
cubica s in P (54) e la generatrice g di X, passante per tale punto, è una genera- 
trice semplice comune a £ ed alla superficie ® (55). La retta 9 incontra la conica 
fondamentale in un punto comune a questa conica ed alla curva /, imagine di L ed L'. 
Nel secondo caso, per il punto comune a g ed L, successivo ai due punti della 
stessa L riuniti in P, passa un’altra generatrice g,, di X, la quale appartiene alla 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE ecc. — MEMORIE — Von..III.° 14 
