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superficie ® permodochè la striscia infinitissima di piano compresa fra le rette 9g e 1 
è un elemento sviluppabile di ® e P è il relativo punto cuspidale. 
Nel terzo caso le due generatrici di X che si tagliano in P, sono le due rette 
del sistema (p) passanti per quel punto, nel quale debbonsi riguardare come sovrap- 
posti due punti della curva L. Quelle generatrici coincidono adunque con le rette 9g e 91 
poc'anzi considerate, il,che dimostra che il secondo ed il terzo caso si verificano si- 
multaneamente nel senso che, se l’uno ha luogo per la curva L, l’altro ha luogo per 
la curva L’, e viceversa. È poi evidente che la curva /, imagine di L ed L/, tocca 
la conica fondamentale là dove essa è incontrata dalla retta 9, (0 91). 
Indicando con 4 il numero di punti comuni alla curva { ed alla cubica s, ana- 
loghi a quelli di cui si tratta nel primo caso; con {8 il numero dei punti comuni 
ad L eds analoghi a quelli di cui si tratta nel secondo e terzo caso, poichè la curva / 
è dell’ordine £+-&, (55) in virtù delle considerazioni precedenti si ha: 
2 (E+E)=a+2E. 
59. Sulle curve L ed L' vi sarà un certo numero y di punti nei quali l’elemento. 
di curva è diretto secondo la generatrice della superficie X. Se ciò avviene per la curva L 
- in un punto A, nel punto associato A', di L', quest’ultima curva tocca la conica se- 
zione di x col piano tangente di A', e la generatrice AA', della superficie ® è un 
elemento sviluppabile di questa superficie medesima (9). 
Le curve L ed L’, fuori dalla cubica s, si taglieranno in un certo numero 20 di 
punti i quali costituiranno evidentemente è coppie di punti associati. Perciò la retta 
che unisce i punti di una di queste coppie è una generatrice doppia della superficie ®. 
Infine, la curva L potrà avere ancora d; punti doppî ed e cuspidi, che non cadono 
sulla cubica s, epperò la curva L' ammetterà altrettanti punti doppî e cuspidi nei 
punti associati di quelli e la superficie ® avrà così altre dj generatrici doppie ed e 
generatrici di regresso. 
Dopo ciò, ed avuto riguardo a quanto si disse al n. 58, si hanno le seguenti 
due equazioni che danno la classe y della curva l: 
v=(6+0)E+E—1)—20—2d,—38: 26+y—2v 
dalle quali si può trarre la relazione: 
2 b+y+4d= (E+d) (E+E —1) — dò: — bi. 
Proprietà polari delle rette del sistema (p) e trasformazioni speciali 
che si possono effettuare sopra queste rette. 
60. Nel piano rappresentativo 7 (54), la conica fondamentale c individua un 
sistema polare per modo che un punto qualunque M, del piano, ha la sua retta cor- 
rispondente m e viceversa una retta qualunque m ba il suo punto corrispondente M. 
Sia p la retta del sistema (p) che passa per M e ® l’iperboloide luogo delle rette 
del sistema anzidetto guidate per i punti di w, (4). Un piano tangente qualsivoglia 
della superficie fondamentale 3, taglia p in un punto M' e l’iperboloide ® secondo 
due rette delle quali una appartiene al sistema (p) e l’altra, m', è la polare di M' 
