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rispetto alla conica c', di X, contenuta nel piano tangente considerato. Infatti la figura 
composta dal punto M, dalla retta m e dalla conica c è omografica alla figura com- 
posta dal punto M' dalla retta an’ e dalla conica ce’ (7). 
Per questa proprietà si può dire che ® è l’iperboloide polare della retta p ri- 
spetto alla superficie X. Dunque, se nello spazio non si considerano che 
rette del sistema (p), ciascuna retta ha il suo iperboloide polare 
e viceversa ogni iperboloide ha la sua retta polare. Avuto poi riguardo 
a ciò che è detto al n. 58, si ha il teorema: 
Tre iperboloidi coniugati, tali cioè che due di essi contengano 
la retta polare del terzo, si segano lungo una medesima cubica. 
61. Segue pertanto da ciò che si può effettuare la trasformazione di una figura 
luogo di rette del sistema (p) in un’altra figura pure formata con rette di questo 
sistema, la quale si può chiamare la polare reciproca della prima rispetto alla 
superficie fondamentale, nel senso che un piano tangente di questa superficie taglia 
le due figure secondo due figure polari reciproche rispetto alla conica secondo la quale 
quel piano interseca £. 
Questa trasformazione polare ne porta di conseguenza un’altra che si effettua 
contemporaneamente per le figure situate sulla superficie fondamentale. Infatti la retta p, 
sopra considerata (60), tocca X in due punti associati K, K' (54) ed il relativo iper- 
holoide polare tocca X lungo una cubica gobba (4) la quale si può chiamare la cu- 
hica polare della coppia di punti anzidetti. Riflettendo che l’iperboloide polare 
della retta KK' ha in comune con X le due'generatrici di contatto di questa su- 
| perficie coi piani tangenti passanti per KK' e tenendo presente il teorema del n. 4 
si trova che: 
La cubica polare di una coppia KK', di punti associati, e lo spi- 
golo di regresso della superficie 2, sopra ogni generatrice di 
questa superficie dividono armonicamente i punti d’intersezione 
della generatrice stessa coi due piani tangenti di XY passanti per la 
retta KK'. 
Si vede poi facilmente che la cubica polare di un punto della cubica s, spigolo 
di regresso di x (dove sono riuniti due punti associati) componesi della tangente a 
quest’ ultima curva nel punto dato e della conica secondo cui il piano osculatore nel 
punto istesso sega tutte le altre tangenti di s. 
La cubica comune a tre iperboloidi coniugati (60) interseca la superficie X in do- 
dici punti i quali sono evidentemente riuniti a due a due nei punti di contatto delle tre 
generatrici lungo le quali si tagliano a due a due quegli iperboloidi. Segue da ciò che: 
Se tre cubiche gobbe della superficie fondamentale sono co- 
. niugate, tali cioè che la coppia di punti associati comune a due di 
esse abbia per cubica polare la terza, per le tre coppie di punti as- 
sociati, determinati dalleloro intersezioni, passaunacubica gobba 
laqualeinciascuno diquei punti tocca la superficie fondamentale. 
62. Dopo le precedenti considerazioni si vede facilmente come un sistema (p) di 
rette possa venire trasformato dietro le stesse leggi con le quali si trasformano le 
figure piane. Così ad es. se nel piano rappresentativo 7 si riferiscono i punti tra di 
