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E per legge di dualità: 
La classe della curva T' luogo dei punti comuni alle tangenti 
corrispondenti di due curve omografiche, situate in uno stesso 
piano, dell'ordine n e della classe »v, è p+2v. 
72. Sul piano 7' s'imagini di ottenere la curva T° quale contorno apparente della 
superficie ® (71) determinata dalle curve omografiche 7’, /”. Indicando sempre con 
l'ordine e con'y la classe di queste due curve, poichè la sviluppabile circoscritta a ® 
nei punti di / è della classe v+-{. (13), così vi saranno v_+ punti della stessa /' 
in ciascuno dei quali i piani -tangenti di ® sono proiettanti. Lo ‘stesso discorso può 
tenersi rispetto alla curva /", da cui segue immediatamente che: 
a) La curva T inviluppo delle congiungenti i punti corrispon- 
denti di due curve omografiche d'ordine pu e di classe y, situate 
in uno stesso piano, tocca entrambe queste curve in p+v punti. 
Suppongasi che sulle curve l", 2" i punti corrispondenti A", A” siano tali che la 
retta A" A” sia la tangente di /” in A”. In allora è evidente cha le due coniche cir- 
coscritte al triangolo PQR, dei punti uniti (64) e tangenti rispettivamente in A' ed A” 
alle curve l, 2", si tagliano in A” cosicchè, in virtù di ciò che è detto al n. 66, 
questo è un punto di contatto di /" con la curva T. Il punto A', per l’ipotesi fatta 
più sopra, appartiene alla curva I luogo dei punti comuni alle tangenti corrispon- 
denti delle curve 2". 
Ora, si considerino le coniche inscritte nel triangolo PQR e tangenti l’una in A' 
e l’altra in A” alle curve /' ed /" rispettivamente. Queste due coniche hanno una 
quarta tangente comune la quale (66) passa per A' e tocca ivi T°. Segue dunque che 
questa curva tocca V in A' e quindi: 
b) Se due curve omografiche, situate in uno stesso piano, 
sono dell'ordine y e della classe y, ip+v punti nei quali la linea 
inviluppo delle congiungenti i loro punti corrispondenti, tocca 
luna di esse, sono i corrispondenti dei y+y punti nei quali la 
curva luogo dei punti comuni alle tangenti corrispondenti, tocca 
l’altra delle curve date. 
73. In quanto alle singolarità della curva T° è facile vedere in qual modo esse 
hanno origine. In primo luogo è evidente che ciascuna delle rette unite p, g, r, dei 
piani omografici 7° 7” (64), essendo la congiungente di coppie di punti corrispondenti 
x 
delle curve V, 2", è una tangente di T multipla secondo il numero wu. 
generale. Infatti in tal caso, indicando con w, v, è, ey l'ordine, la classe, il numero dei punti doppî 
e delle cuspidi della curva /; con p/, v, è, e' i numeri analoghi per la curva 2”, la linea 
doppia della superficie ®, luogo delle congiungenti i punti corrispondenti delle due curve 2, 2!” (sup- 
poste in piani differenti) è dell’ordine pl pl(ul—3) dn +ppl+ Slade 
(Cremona, Preliminari ad una teoria geometrica delle superficie, pag. 44). Da ciò si trae facilmente 
che la classe di una sezione piana di ®, e quindi l’ordine del cono circoscritto a questa superficie, è 
y+2"+s oppure y+2+ s'. Queste sono adunque due differenti espressioni dell'ordine della curva T° 
nel caso qui considerato. Esse non comprendono il caso in cui le due curve /’, 2!” sono omografiche 
se non quando «= s'=o0. 
