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Siano A" A” due punti corrispondenti qualunque delle curve 7", situati sulla 
retta p. In allora le coniche circoscritte al triangolo PQR, dei punti uniti, e tangenti 
ad l' ed l' in A' ed A” rispettivamente, constano la prima delle rette p e PA/ e la 
seconda delle due rette p e PA". Sulle PA' e PA” si trovano altre coppie di punti 
corrispondenti delle curve date e la congiungente i punti di una di queste 
coppie taglierà p in uno dei punti di contatto di questa retta 
con T (66). 
Siano B' e B"” i punti di contatto con V" ed !” di due tangenti corrispondenti, 
di queste curve, guidate per il punto P. Le coniche passanti per P, Q, R e tangenti 
rispettivamente in quei punti alle curve anzidette, si compongono l’una delle rette p 
e PB' e l’altra delle rette p e PB". Queste coniche determinano un punto 
della curva T. il quale è situato sopra p (66) e la tangente in tal 
punto, a quella curva, rimane così determinata. 
Le indicate costruzioni possono servire ad ottenere direttamente i w punti di 
contatto, nonchè i y punti di semplice intersezione di ciascuno dei lati del trian- 
golo PQR con la curva T. Analoghe costruzioni si possono fare per la curva T”. 
74. I punti doppî, delle curve /' ed /”, danno evidentemente origine ad altrettante 
tangenti doppie della curva T. Più in generale, la congiungente due punti corrispon- 
denti di /', 2", multipli secondo il numero n, è una tangente (n)? per la curva T. 
Questa curva non può avere altra tangente multipla che non sia generata come ora 
si è detto (all'infuori delle rette p, g, r (73)) perchè sopra una retta qualunque non 
possono trovarsi più di due punti corrispondenti dei piani omografici 7°, 7”, cui ap- 
partengono le curve / ed /” rispettivamente. Così è evidente che gli e punti di regresso 
di queste curve danno origine ad altrettante tangenti d'inflessione della curva T. 
Il modo di generazione per punti, di tale curva, più sopra indicato (66), mostra 
all'evidenza che il numero dei punti doppî, della curva stessa, è 
eguale alnumero delle coniche circoscritte al triangolo PQR e 
tangenti in due punti distinti alla curva ‘' (oppure /”); il numero 
delle cuspidi eguaglia il numero delle coniche circoscritte al 
triangolo PQR ed aventi un contatto tripunto con l od Il”. 
Il metodo per la determinazione delle caratteristiche di un sistema di coniche, 
già citato al n. 68, può servire a trovare il numero dei punti doppî e delle cuspidi 
della curva T. Tuttavia, per raggiungere un tale intento, basta fare un’applicazione 
molto semplice delle formole di Pliker, giacchè della curva anzidetta si conoscono, 
l'ordine v+ 21 (71), la classe 2u (65) ed il numero e delle tangenti d’inflessione. 
75. Le precedenti conclusioni stanno nel caso generale nel quale le curve omo- 
grafiche 2", (" non hanno una posizione particolare rispetto ai vertici ed ai lati del 
triangolo dei punti uniti P, Q, R. Suppongo ora che quelle curve passino per il ver- 
tice P di questo triangolo. La costruzione (65) delle tangenti della curva T° uscenti 
da un punto qualunque, applicata in questo caso, mostra chiaramente come qualunque 
retta passante per P può ritenersi una tangente di T, per cui dalla serie delle tan- 
genti di questa curva si stacca il fascio di centro P, ossia la classe della curva stessa 
diminuisce di una unità. 
Le due rette PQ e QR non possono essere più che tangenti multiple secondo 
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