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il numero y—1 (73) della curva T e quindi vi sarà una tangente di essa, uscente 
da P e distinta da PQ e PR. 
I punti di semplice intersezione di una delle rette anzidette con T sono ancora y 
perchè (73) da R, o da Q, si possono ancora condurre y coppie di tangenti corri- 
spondenti alle curve /, 2. E giacchè sulla PQ (o sulla PR) vi sono ancora y—1 
vunti di contatto con T, così l'ordine di questa curva è y+2(u—1). 
È facile ora generalizzare questi risultati. Così, se le curve V ed ” passano per 
i due vertici P, Q, del triangolo PQR, le PR e QR sono tangenti multiple secondo . 
il numero p—2 della curva T. Se l" ed /" passano per tutti tre i vertici del trian- 
golo PQR, tutti tre i lati di esso sono tangenti multiple secondo y—2 di T. Se l ed 2° 
passano due volte per uno stesso vertice del triangolo anzidetto, i lati che concorrono 
in quel vertice sono tangenti multiple secondo il numero —2 ed il terzo lato è 
una tangente multipla secondo il numero 1 per la curva T. 
Tuttociò porta a concludere che: 
a) Se ciascuna delle curve /, !" passa un numero totale x di 
volte per i punti P, Q, R, (senza distinzione) l'ordine della curva T 
è espresso da vy+2(u—2) e la sua classe da 2u—z. 
Il numero delle tangenti d’inflessione di T° è sempre uguale ad e (74). 
Se un lato del triangolo PQR è una tangente semplice di ciascuna delle curve , ( 
‘è evidente che esso è una tangente multipla secondo il numero wy—2 ed in pari 
tempo è una tangente d’inflessione della curva T. Perciò, in tal caso l’ordine di essa 
diminuisce di una unità; la sua classe rimane però sempre eguale a 2u (65). Di qui, 
generalizzando, è facile vedere che: 
b) Se le curve /, !" toccano ciascuna i lati p, g, r, del triangolo sopraddetto 
in y punti (senza distinzione) l’ordine di T è y+2u—y, la sua classe 2u,, ed il 
numero de’suoi flessi, ‘+y. 
Mediante la legge di dualità, opportunamente applicata, dalle espressioni delle 
caratteristiche della curva T, nei casi particolari considerati, si possono immediata- 
mente dedurre le caratteristiche della curva T”. i 
76. Sé si suppone che le curve /, /" siano due coniche corrispondenti qualunque, 
dei piani 7, x" (65), la linea T è del sesto ordine (71) e della quarta classe (65). 
Siccome il numero de’suoi fessi è zero (74) così si trova subito che essa ha quattro 
punti doppî, sei cuspidi e tre tangenti doppie (le rette p, g, r (73)). Essa tocca 
quattro volte ciascuna delle coniche 7, 2" (72). 
Questa curva è stata studiata da Schròter (') ma con metodo differente da quello 
che venne seguìto in questo lavoro. La costruzione della curva per punti, dimo- 
strata al n. 66, permette di ottenere direttamente i punti doppî della curva stessa, 
ogniqualvolta si conosca il triangolo PQR dei punti uniti dei piani omografici 7, 7° 
nei quali le coniche /', ?" sono corrispondenti. Infatti, per raggiungere un tale scopo, 
basta descrivere le quattro coniche passanti per i vertici del triangolo ed aventi un 
doppio contatto con V". Ciascuna di queste coniche ha con la propria corrispondente, 
un quarto punto comune il quale è uno dei punti doppî richiesti (74). 
(1) V. il tomo 54 del Gior. di Crelle: Veber die Erzeugnisse hrummer projektivischer Gebilde. 
