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Da P (vertice opposto al lato p nel triangolo pqr) si proiettino i punti U' ed U” 
di contatto di p con le coniche l, !". Le rette proiettanti incontreranno di nuovo, 
l’una la prima conica in un punto di U', e l’altra la seconda conica in un altro 
punto U”,. La congiungente questi due punti interseca p nel relativo punto di infles- 
sione I, della curva T. Analoga costruzione vale per ottenere gli altri due. 
Si osservi che le rette congiungenti i vertici del triangolo PQR coi punti di 
contatto della conica /, situati rispettivamente sui lati opposti, si tagliano in un 
punto O'. Così le congiungenti i vertici del triangolo PQR coi punti di contatto della 
conica /", situati rispettivamente sui lati opposti, si tagliano in un punto O", corri- 
spondente di O’ nel sistema omografico cui appartengono le due coniche. 
Ora, le punteggiate PU’, PU” sono prospettive, cosicchè le tre rette UU”, 0'0" 
U',U",, che uniscono coppie de’loro punti corrispondenti, concorrono in un medesimo 
punto, il quale, per la costruzione precedente, non è altro che il punto I. 
Si vede da ciò che gli altri due punti d’inflessione I, ed Iz, della curva T, giac- 
ciono sulla retta 0'0”, onde si verifica un noto teorema che riguarda i punti d’in- 
flessione di una cubica piana. 
79. Delle quattro coniche passanti per i vertici del triangolo PQR ed aventi un 
doppio contatto con la conica l' (76), nel caso attuale, tre consistono evidentemente 
nei lati stessi del triangolo, presi a due a due. Siccome però alla conica formata 
per es. dalle due rette p, g, corrisponde sè medesima, così essa non fornisce alcun 
punto doppio della curva T. 
Siano X, Y, Z i punti di contatto di /' con le rette p, g, r. La quarta conica K' 
ha manifestamente per corda di contatto con l, la retta che passa per i coniugati 
armonici dei punti X, Y, Z, rispetto ai vertici del triangolo PQR. O altrimenti, le 
tangenti nei due punti di contatto delle due coniche k' ed l’, concorrono nel punto S 
dove si tagliano le rette PX, QY, RZ. 
Indico con X, il secondo punto comune a PX ed alla conica " e con T il punto 
d’intersezione della stessa PX con la retta YZ, polare di P. I due gruppi PTXX,, 
PSXT, essendo armonici, ne segue che per andare da P in $ bisogna passare per X o per T 
e per andare da P in T bisogna passare per X o per X,, percui per andare da P 
in S bisogna passare per X o per Xi. 
Ora, se P è esterno alla conica /’, e cioè se i punti Q ed R sono reali, $ è 
interno e quindi sono imaginarie le tangenti alla conica stessa uscenti da quel punto. 
In tal caso adunque Ja conica richiesta &' tocca ” in due punti imaginarî. Essa poi 
incontra la sua corrispondente, nel sistema omografico, nel punto doppio della curva T, 
il quale, non avendo origine da tangenti reali della conica /, non esiste sopra rami 
reali di T vale a dire è un punto coniugato di questa curva. 
Viceversa, se il punto P è interno alla conica /, il punto S è esterno ad essa 
e le due tangenti di tale curva, uscenti dallo stesso punto S, determinano sopra l' 
due punti di contatto reali. Perciò il punto doppio di T, in questo caso, è un punto 
doppio ordinario. 
