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manifestamente un punto della curva L', doppia per la superficie ®. Questa curva 
L' è dell’ordine È 2p. (2u—2)=61 (u—1), (14). 
Da ciò che ora si è detto risulta, che se da un punto A, di /, si guidano le 
due tangenti «w' ed «" della conica c, ognuna di queste rette incontrerà di nuovo 
in 2u—1 punti, fra i quali ve ne saranno due, l’uno As sopra w' e l’altro Az sopra v”, 
che con Aj formeranno un triangolo circoscritto a c, il quale rappresenterà un punto 
della curva L. Le tangenti di c condotte per i rimanenti 2u—2 punti di /, situati 
tanto in w' che in w", insieme a queste rette formeranno 2 (2u—2) triangoli cia- 
scuno dei quali rappresenterà un punto della curva doppia, della superficie ®, si- 
tuato sulla generatrice passante per A1. 
40. Sia v' una tangente comune alla curva / ed alla conica fondamentale. Qui 
sono a distinguersi due casi differenti e cioè: oi due punti di / riuniti nel punto 
di contatto sono accoppiati nel modo sopraddetto (39), o non lo sono. 
a) Nel primo caso, se diconsi A, A» quei punti, è evidente che la curva / 
passa per il punto Az di contatto della seconda tangente della conica c, condotta 
per A; (od As) ed il triangolo A, Ag A3 è l’imagine di un punto A comune alla 
curva L ed alla sviluppabile fondamentale X (15). La generatrice, della superficie ®, 
passante per A, è un elemento sviluppabile di tale superficie (8) ed A è il relativo 
punto cuspidale. Segue pertanto da ciò che la curva / e la conica c hanno 4u 
tangenti semplici comuni, le quali passano per i loro punti d’in- 
tersezione. 
b) Nel secondo caso (fig. 5), se diconsi Ax e Bi due punti riuniti nel punto di 
contatto della retta v' con la curva /, anche i punti As e Bs che con quelli formano 
le due coppie A; A», Bj Bs sono infinitamente vicini. Infatti, se ciò non fosse, 
le seconde tangenti della conica c, passanti per A» e Ba, taglierebbero la seconda 
tangente v", di c, passante per A, (0 B1) in due punti distinti Az e B3,i quali, 
sopra v”, sarebbero entrambi accoppiati col solo punto A, il che è impossibile. 
Dunque in questo caso la v' è una delle 7 tangenti doppie di / che sono in pari 
tempo tangenti di c. 
Le rette A A3, As A3 toccano ce in.due punti E ed F che appartengono evi- 
dentemente alla curva /, ed i due triangoli A, By E, A, B, F rappresentano due 
punti comuni alla curva doppia L', della superficie ®, ed alla sviluppabile X. Perciò 
il numero totale dei punti d’intersezione di /, con c, e quindi di L' con £, i quali 
sono generati nel modo ora detto, è 27. 
I due triangoli successivi A, A» A3, Bi Bs B3 rappresentano due punti succes- 
sivi della curva L situati nel piano «, tangente a £, che taglia il piano rappre- 
sentativo secondo la retta w' e cioè il piano « tocca la curva Lin un punto A. Le 
generatrici della superficie ®, passanti per A, ed A» sono due elementi sviluppabili 
della superficie stessa, aventi in comune il punto cuspidale A. 
Le rette A, E, Bs F determinano in Az un punto della curva 7 e così le 
rette B, E, Ag F_ determinano in Bz un secondo punto di 7, successivo ad A3, per- 
modochè i due triangoli successivi A, B, A3, Bi A» B3 rappresentano due punti, della 
curva doppia L', situati nel piano « sopraddetto e tra loro infinitamente vicini. 
