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passanti per AC e BD tagliano p' in altri due punti della curva doppia anzidetta. 
Perciò le rette p e p' sono corde bisecanti questa curva senza essere generatrici di D. 
Da quanto precede si deduce che in generale la curva %, non ammette regressi 
che siano generati come casi particolari dei punti doppî precedentemente considerati. 
Infatti, un regresso di Z, avrebbe origine se ad es. una delle rette p e p', od ana- 
loghe, fosse tangente alla curva doppia di ®. Se la p godesse di ‘tale proprietà, 
sarebbero C e D infinitamente vicini ad A e B rispettivamente e quindi le PA e PB 
toccherebbero la curva 7, in due punti A e B situati sopra una medesima tangente 
della conica fondamentale, il che non avverrà in generale essendo la curva 7, data 
comunque. 
38. Ma la curva l, può ammettere altri punti doppî e anche punti di regresso, 
se la curva 71 è essa pure dotata di tali singolarità. i 
Indicando come precedentemente (35) con P un punto doppio di /, e con 1, va 
le due tangenti della conica fondamentale uscenti da esso è evidente che le tan- 
genti della conica ora detta condotte per i u—2 punti nei quali v» (all’ infuori 
di P) taglia /,, intersecano «, in tanti punti doppî di /,. Altrettanti punti doppî di 
questa curva trovansi sopra v, epperò i è punti doppî di /, danno origine a 2d (u—2) 
punti doppî della curva ly. 
In modo analogo si vede che gli e regressi della curva / forniscono 2: (u—2) 
regressi di ly. 
Il numero di, dei punti doppî di 7, generati nel primo modo (37) si potrà 
immediatamente ottenere quando sarà nota la classe di tale curva. Per iscoprire 
questa classe considero una qualunque # delle 2y tangenti comuni ad 7, ed alla 
conica fondamentale c. Se T è il punto di contatto con l,, per tale punto passa 
un’altra tangente , della conica c, la quale sega /, in altri y_—1 punti, oltre T. 
Ora è evidente che le tangenti c uscenti da questi punti incontrano è in wy—1 punti 
nei quali la stessa t tocca la curva /;. Da cui segue che ogni tangente comune 
alla curva 7, ed alla conica fondamentale è una tangente multi- 
pla secondo il numero y—1 per la curva dl. 
Inoltre, la retta £ tocca la curva /1 in T e quindi la sega in altri u—2 punti; 
le tangenti condotte per essi alla conica c incontrano ' in y—2 punti in ciascuno 
dei quali esse toccano la curva ly. 
Dopo ciò, rammentando (35) che /, ha un contatto semplice, con la conica fon- 
damentale, in 20 punti ed un contatto di secondo ordine in 2 punti, si conclude 
che il numero totale delle tangenti comuni ad /, ed alla conica suddetta è espresso 
dalla somma 2y (u—1)+2y (1—2)+40+6c e che perciò la classe di 2, è up (u—1) 
+2y (U—2). i 
Il numero dj si può dunque trarre dalla equazione : 
p. (0-1) + 2v(u—-2)=p(u—1) la (== ms (u—2)—2d,—6e (1—2), 
la quale fornisce : 
à=3 n (1) (u—2) 
Tale è il numero delle rette del sistema (p) le quali sono corde bisecanti la curva 
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