2 900 
Se la trasversale mobile «, in una delle sue posizioni tocca la curva 1, le due 
tangenti della conica fondamentale passanti per due punti della curva stessa che 
sono riuniti nel punto di contatto, si tagliano sopra la conica ora detta. Segue da 
ciò che se y dinota la classe di /,, la curva 4, e la conica fondamentale 
s’intersecano in 2y punti, nei quali le tangenti della conica pas- 
sano per i punti di contatto, con la curva /,, delle tangenti comuni 
a questa curva alla conica stessa. 
35. S' indichi con P o con Q un punto doppio della curva 71, a seconda che 
lo sì considera come esistente sull’uno o sull’altro dei due rami di curva che s’'in- 
crociano in tal punto. Guidate per esso le tangenti w, ed «3, alla conica fondamen- 
tale c, per ottenere i punti della curva Z, che trovansi in w, si segua il procedi. 
mento più sopra indicato (34). In allora si vede che se pel punto P, comune ad v 
ed 71, si conduce la seconda tangente v3, della conica c, questa taglia {1 in y—1l 
punti, escluso P, tra i quali uno è Q. La tangente di c (oltre w») uscente da Q, 
essendo coincidente con vj, determina su questa retta un punto della curva % il 
quale giace sulla conica c. Se poi in ciò che ora si disse, si scambiano tra loro i 
punti P e Q si trova che vi è un altro punto della curva Z, nel punto di contatto 
di «, con la conica fondamentale. 
Simile ragionamento si applica identicamente anche per la retta w, da cui si trae che: 
La curva /, tocca la conica fondamentale in tutti i punti nei 
quali le tangenti di questa conica passano per i punti doppî della 
curva Î. 
Nel supposto che il punto P, sopra considerato, invece di un punto doppio, sia 
una cuspide della curva /,, valgono ancora le conclusioni fatte poc'anzi. Però in tal 
caso si osservi che la retta w, è una tangente della conica c intermedia a due 
altre 1, «",, che le sono successive, delle quali la prima, in prossimità di P, taglia 
la curva 7, in due punti reali e la seconda taglia la curva medesima in due punti 
imaginarî. Le due tangenti di c (oltre 4) uscenti dai punti reali anzidetti, s’ in- 
contrano in un punto della curva 7, il quale è esterno a c, mentre le due tangenti 
(oltre w") di questa conica, uscenti dai punti imaginarî menzionati, s'incontrano 
in un punto della curva /, il quale è interno alla conica c. Segue da ciò che la 
curva 4 nel punto di contatto di c con la retta v,, non solo tocca ivi la stessa c, 
ma penetra dall’esterno all’interno di tale conica, il che esige che il contatto sia 
di secondo ordine. Dunque : 
La curva , ha un contatto tripunto con la conica fondamen- 
tale, in tutti i punti nei quali le tangenti di questa conica pas- 
sano per le cuspidi della curva 4 ('). 
(!) Da ciò che è detto ai n. 34 e 85 segue che se si indicano rispettivamente con è ed e il 
numero dei punti doppî e quello delle cuspidi della curva /,, il numero dei punti comuni a questa 
curva ed alla conica fondamentale è 2)+-43-+6:. L'ordine di Za è dunque esprimibile tanto con. 
y+29+83: quanto con 4 (2—1) (33). Si ha perciò l'eguaglianza : 
: y+2d0+3:=p(u—1) 
Oppure: 
y=p (u—l)—238—385, 
la quale è la nota formola di Pliicker, relativa alla curva /,. 
