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Se © e 4 sono due fasci di rette, o" e ' sono due fasci di coniche (16), i quali 
generano una curva /, del quarto ordine, avente la proprietà di contenere infinite 
terne di punti coniugati e cioè di ammettere infiniti triangoli inscritti, i quali sono 
circoscritti alla conica fondamentale. Sei punti della conica del piano 9, la quale ha 
per imagine la curva ? anzidetta, sono legati tra loro dal noto teorema di Pascal, 
epperò questo teorema, convenientemente trasportato potrà servire alla costruzione 
della curva /. 
Tale curva è determinata quando sono dati cinque triangoli circoscritti alla 
conica fondamentale, i vertici dei quali siano coniugati in un medesimo ‘sistema di 
terne di punti coniugati. Per ciò di quei cinque triangoli tre soltanto si possono 
assumere completamente ad arbitrio (16). Le tre coniche passanti per i vertici di due di 
essi si tagliano in un punto M che è doppio per la curva /(23, c), ed individuano 
una rete © insieme ad un sistema di terne di punti coniugati. Perciò se si cono- 
scono due altri punti qualisivogliano, della curva 7, ognuno di essi fornirà gli altri 
due che gli sono coniugati e s’avranno così i cinque triangoli richiesti. 
Indicando con 1, 2, 3, 4, 5, tali triangoli, con 6 un altro triangolo inscritto 
nella curva / e circoscritto alla conica fondamentale e convenendo di chiamare coniche 
opposte della rete ©, quelle che sono circoscritte alle coppie di triangoli 1, 2 e 4, 5; 
2,3 e 5, 6; 3, 4 e 6, 1, il teorema di Pascal qui prende l’enunciato : 
Le coniche opposte della rete © definite da sei terne qualun- 
que di punti coniugati della curva / determinano tre terne di 
punti coniugati situati sopra una medesima conica della rete. 
Ciò insegna a costruire la curva di quart’ordine di cui si tratta. 
80. Si consideri lo spazio come il complesso de’ suoi infiniti piani 0,, 0a, 03.....; 
in allora se sopra il piano x s’imaginano rappresentati tali piani nel modo prece- 
dentemente indicato (16) si avrà una triplice infinità di sistemi di terne di punti 
coniugati e quindi una triplice infinità di reti ©, 0a, 03, ..... di coniche, analoghe 
alla rete © studiata al n. 16 e segg. 
La conica ®; ®., che rappresenta la retta 0, 93, è il luogo delle terne di punti che 
sono coniugati in entrambi i sistemi determinati dalle reti O, e ©». Tutti i piani passanti 
per la retta 9, 9, sono rappresentati dai sistemi di terne di punti coniugati che hanno 
in comune le terne situate sopra la conica ©, ©». Ogni posizione del punto M (16), 
sopra tale conica, determina uno di quei sistemi e quindi un piano del fascio che 
ha per asse la retta 0, 9 ('). Viceversa, ogni piano di questo fascio determina un 
sistema di terne di punti coniugati, al quale appartengono le terne situate sulla 
conica 0, 9, e quindi una posizione del punto M. Segue da ciò che un fascio 
di piani e la relativa serie di penti M sono due forme proiettive. 
Per un piano il quale contenga una generatrice della sviluppabile fondamentale £, 
il punto M cade evidentemente sopra la conica fondamentale. Ma in tal caso si è 
dimostrato che insieme alla rete ©, che rappresenta quel piano, ne rimane natural- 
mente individuata un’ altra O' (24), il che significa che i piani passanti per 
(1) Infatti, le coniche passanti per M e per i vertici di un triangolo iuscritto nella conica 0, 9, 
e circoscritto alla conica fondamentale, sono tutte le curve d'una rete ©, fra le quali è la conica 
©, 9, sopraddetta. 
