ciò si vede che i raggi del fascio di centro M, la serie delle tangenti di c e la 
serie delle tangenti di o sono tre forme proiettive. 
La curva o è rappresentata nel piano 7, dalla conica fondamentale considerata 
insieme alla Jacobiana c»3, della rete © (17, a), la quale devesi ritenere come la 
sovrapposizione di due luoghi di terzo ordine. In particolare, alle tre cuspidi di c 
(punti comuni al piano 9 ed allo spigolo di regresso di X) corrispondono i tre punti 
di contatto di c»3 con la conica c. Le tangenti in questi punti, prese insieme alle rette 
che proiettano da M i punti istessi, sono le imagini delle tre tangenti nelle cuspidi di o. 
E poichè i vertici del triangolo formato da quelle tangenti sono tre punti coniugati (18, c), 
così se ne deduce il noto teorema che le tangenti della curva c, nelle tre cuspidi, 
si tagliano in un medesimo punto (che è rappresentato dal triangolo menzionato). 
28. Una curva 7, del piano x, nella quale esistano infinite terne di punti coniu- 
gati, è l’imagine di una curva L avente una posizione affatto generale rispetto 
alla curva o. Infatti data ad arbitrio una curva L, nel piano 0, la sua imagine è 
una curva che contiene infinite terne di punti coniugati (15). Dinotando con 2 | 
l’ordine di /, l'ordine di L è 1 (14) e se @ è la classe di quest’ ultima curva, la 
classe di / è espressa da 2u+3% (23, c). * 
Léè rette del sistema (p) guidate per i punti di } od L formano una superficie 
gobba ®, del grado 4, la quale ammette come linea tripla la curva L. Tale su- 
perficie ha una generatrice multipla secondo il numero w (la retta p) passante per 
il punto M che è (u)?° per la curva 7. Ad ogni punto doppio o ad ogni cuspide 
della curva L, corrisponde in Z una terna di punti (coniugati) doppî oppure di 
cuspidi. Le rette del sistema (p) uscenti dai punti doppî e dalle cuspidi di L sono 
rispettivamente generatrici doppie o di regresso della superficie ©. 
I 4 punti comuni ad L ed alla curva o (od alla superficie X) sono rappre- 
sentati sul piano 7, da altrettanti punti comuni alla curva ? ed alla conica fon- 
damentale c, presi insieme ai loro coniugati i quali a due a due coincidono suila 
cubica c23 (23, c). Se A, e uno dei 4 punti anzidetti sulla conica c, e As, Az 
sono ì suoi due coniugati riuniti sopra ca3, poichè la tangente della curva 7 in Aa 
(od Az) è anche tangente alla conica c, così le due generatrici successive della 
superficie ® che passano per A, ed As giacciono in un elemento sviluppabile della 
superficie stessa ed il relativo punto cuspidale è rappresentato dalla terna A1 Ag A3. 
29. Siano L ed L' due curve date nel piano obbiettivo 0, la prima dell’ordine 
e la seconda dell’ordine pj. Le loro imagini { ed l" nel piano 7, sono rispettiva 
mente dell’ordine 2 e 211 per cui esse si tagliano in 4up, punti, dei quali, pa 
sono riuniti nel punto M (23, c) e gli altri Sup formano pui terne di punti co- 
niugati che rappresentano i punti comuni ad L ed L'. 
Se up, i punti comuni ora detti definiscono la base di un fascio 9 di curve 
d’ordine p, ed i 4p? punti comuni alle curve 2 ed 7 definiscono la base di un fascio g', 
di curve d’ ordine 2, imagine di q. È poi evidente che questi due fasci sono tra 
loro proiettivi. Ora, se s'imagina che un luogo del piano 9 sia generato dalle mutue 
intersezioni delle curve corrispondenti di due fasci proiettivi @ e 4, l’imagine di 
quel luogo sarà generato dalle mutue intersezioni delle curve corrispondenti dei due 
fasci proiettivi o" e W' che sono le imagini di 9 e d. 
