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da una rete © di coniche tutte passanti per un punto M (16) sì è sempre im- 
plicitamente supposto che quel punto fosse o esterno od interno alla conica fon- 
damentale c. Ora. interessa di considerare il caso in cui il punto M trovasi sulla 
conica ora detta. 
In questo caso è manifesto che le due tangenti di c uscenti da M, essendo 
concidenti in una retta m, qualunque altra tangente, della stessa c, taglierà m in 
due punti coniugati riuniti (17, d) i quali perciò apparterranno alla curva Jacobiana 
della rete ©. Questa curva, che è del terzo ordine (17, a) si scomporrà dunque nella 
retta m ed in una conica ca. La Jacobiana, anzidetta, deve avere un punto doppio 
in M e ie tangenti in esso debbono toccare la conica fondamentale (20) il che esige 
che le coniche c e ca3 si tocchino in M. 
Segue da ciò che dei tre punti di contatto della Jacobiana con c, i quali sono 
distinti nel caso generale (18, dè), due ora coincidono in M ed il terzo sarà un altro 
punto M' dove si toccheranno di nuovo le coniche menzionate. 
Questo punto M' è così definito che la retta MM' e la tangente m’, della 
conica c nel punto stesso, costituiscono una conica singolare delle rette © (18, c). 
Per determinare questa rete si potrebbe partire dal dato di questa conica singolare, 
‘ossia dal raggio MM' del fascio di centro M e dalla tangente corrispondente della 
conica c (17, d). Da ciò si vede che rimane determinata un’altra rete O' di coniche, 
affatto analoga a ©, per mezzo del punto M' e dalla conica singolare costituita 
dalle rette M'M ed m. La Jacobiana di questa seconda rete consterà evidentemente 
della retta n, ora detta, e di una conica c'93 tangente alla conica c sia in M' 
che in M. i 
25. Dalle precedenti considerazioni risulta che se da un punto arbitrario Ri, 
della retta MM' (fig. 3), si guidano le tangenti alla conica c, queste tagliano la 
retta m' in due punti R, ed Rs che sono coniugati di quello nel sistema determinato 
dalla rete ©, epperò la retta che da M proietta Rz incontra R, Ra in un punto A 
della conica c»3 (17, 0). La retta m seghi le Ri R,, Ri R3 rispettivamente nei punti R'g 
ed R'3. Sarà R, Ra R3 una terna di punti coniugati nel sistema determinato dalla 
rete 0', permodochè la retta M'R'3 incontrerà la R, Rs (ossia R, R.) in un 
punto B della conica c'a3. 
Si osservi ora che la conica c23, toccando c in M ed M', taglia RR, in due 
punti coniugati di una involuzione nella quale R, è un punto doppio ed R,, Ra 
sono due punti coniugati. Il coniugato di A in tale involuzione è dunque il secondo 
punto d’ intersezione di R, Rs con c33. 
Ma nel quadrangolo completo MM'R, R'3, due lati opposti MM', R3 R'3 passano 
per Ri; altri due lati opposti M' R,, MR passano l’ uno per R, e l’altro per R'g; 
il quinto lato MR3 per A ed il sesto lato M' R' per B. Quindi B è il coniugato 
di A nell’anzidetta involuzione (') e per conseguenza è un punto comune alle due 
coniche c23 e c‘a3. L’istessa conclusione vale manifestamente anche per il punto A 
e poichè quelle coniche si toccano in M ed M' così esse coincidono ‘insieme. 
Riassumendo, si ha il seguente teorema : 
(1) Ciò in virtù del noto teorema di Desargues (V. Cremona, Geometria protettiva, pag. 65). 
