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Se sulla tangente rj9 il coniugato del punto di contatto cade in questo mede- 
simo punto, è manifesto che ivi si riuniscono tre punti di una terna e due punti 
della Jacobiana. Perciò: 
b) La Jacobiana tocca la conica fondamentale in tre punti in 
ciascuno dei quali coincidono tre punti coniugati. 
È poi ovvio che le coniche della rete passanti per uno di questi tre punti hanno 
in esso un contatto semplice con la conica fondamentale ed un contatto tripunto fra 
di loro. Inoltre, avuto riguardo a ciò che già si disse (17, c), risulta che: 
c) Le tangenti della conica fondamentale nei punti dove essa 
è toccata dalla Jacobiana della rete ©, formano un triangolo i cui 
vertici sono una terna di punti coniugati ('). 
19. Prendo a considerare una terna R, R, R3 di punti coniugati (fig. 1) e sup- 
pongo che il punto R, subisca uno spostamento infinitamente piccolo sopra una 
retta r,. In allora anche i punti R, ed R3 subiranno spostamenti infinitesimi sopra 
le rette 7, ed 73 rispettivamente, ed è chiaro che se ri descrive un fascio intorno 
ad Ri, le rette r, ed rg descrivono due fasci proiettivi a quello, l’ uno intorno 
ad R, e l’altro intorno ad Rg. Dirò che i raggi corrispondenti, di questi tre fasci 
proiettivi, definiscono tre direzioni coniugate in Ri, Ra, R3. 
Ora, quando 7, coincide con Ri R., la retta r, coincide pure con Rj Ra, perchè 
sopra quest'ultima retta esistono infinite coppie di punti coniugati (17, a). Perciò, 
i due fasci di centri Rj, R, sono prospettivi. In modo analogo si vede che sono 
prospettivi i fasci di centri R,, R3 ed i fasci di centri R, ed R3. 
Ritornando ai primi due, di questi fasci, si osservi che quando il raggio rs cade 
in Rs Rg, il raggio corrispondente 71 passa per M (17, 6) per cui il punto X, comune 
a R, R3 ed R;j M appartiene alla retta sulla quale si tagliano le coppie di raggi 
corrispondenti dei fasci descritti dalle rette r, ed ra. Così, se, r1 cade in Ry Rs3 il 
raggio r, passa per M e quindi il punto Y, comune ad R, Rz ed MR; , appartiene 
esso pure alla retta anzidetta. Di qui si vede che le rette analoghe, per le altre 
due coppie di fasci, sono le congiungenti il punto Z, comune ad R;y R, ed MR, 
coi punti X ed Y. 
Segue pertanto da ciò che le rette le quali uniscono un punto qualunque A, 
di XY, con Rj ed R,, forniscono due direzioni coniugate rispetto a questi punti. 
Siano B e C i punti comuni alle AR}, XZ ed alle AR,, YZ rispettivamente. Nei 
(!) Siano A, B,C, i tre punti ed «, 8, y, le relative tangenti, della conica fondamentale, di cui 
si tratta nel teorema enunciato. Segue da esso che le rette MA, MB, MC, passano rispettivamente 
pei vertici £y, xy, 28 deltriangolo « F y. Ora le tre coniche descritte per M e tangenti a due lati 
del triangolo in due dei punti A, B, C, sono curve della rete © le quali hanno a due a due un con- 
tatto tripunto nei punti anzidetti. Da ciò si trae facilmente la seguente costruzione delle coniche 
aventi un contatto tripunto in un punto A d’una conica data %. 
Sopra & si prenda un punto arbitrario M; la tangente in un punto qualunque B, della curva, 
taglierà la tangente in A, di essa, in un punto R, e la retta AM in un secondo punto Ry. Essendo 
Rs il punto comune alle rette AR, e BM, si trovi il punto C dove s'intersecano la MR, e la R, R,. 
La conica che tocca in A e C rispettivamente le rette R, R3, R, R, e passa per M è una delle 
coniche richieste. 
