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13. Un piano qualunque dello spazio taglia la superficie ® secondo una curva 
dell’ordine 2. con 3 p..(u—1)+d punti doppî e con e cuspidi (7 e 10) per cui la 
classe di questa curva è 2u (2u—1)—3u (u—1) —20 —8e=v+-21. Tale è anche 
l’ordine del cono circoscritto a ® avente. il vertice in un punto qualunque dello 
spazio. Questo cono tocca ® lungo una curva che ha v+2f punti comuni con un 
piano 7, tangente alla sviluppabile X, e di tali punti y. giacciono sulle 1 generatrici 
di ® situate in x ed i rimanenti y-+p sono sulla curva / sezione di ® col piano 7. 
Segue da ciò che la sviluppabile tangente alla superficie ® lungo una sezione fatta 
con un piano tangente della superficie X è della classe v+y. 
La superficie ®, e tutte quelle generate da rette del sistema (p) (3) hanno in 
comune una proprietà caratteristica con l’ iperboloide ed è che i punti di due gene- 
ratriciéqualunque sono tra loro riferiti proiettivamente essendo punti corrispondenti 
quelli che si trovano in un medesimo piano tangente della superficie X. 
La superficie ®, come venne precedentemente costruita, non presenta che una 
linea doppia; ma si possono costruire delle superficie che godono delle proprietà 
generali di quella, le quali oltre ad una linea doppia ammettono una linea tripla. 
A tal uopo basta assumere una curva qualunque L (piana o gobba) nello spazio 
e per i punti di essa guidare tutte le rette che congiungono punti corrispondenti di 
due piani omografici 7° e 7". La curva L, in allora è tripla per la superficie ® 
luogo di quelle rette. È poi evidente a priorî che le due curve omografiche /', /", 
secondo cui ® interseca i piani 7, 7", debbono soddisfare a condizioni particolari 
in relazione alle coniche c'e e”, dei piani anzidetti, le quali sono gli inviluppi delle 
rette corrispondenti che si tagliano (1). 
Se infatti si considera la superficie X, inviluppo dei piani tangenti comuni alle 
coniche c' e c” (2) poichè le tre generatrici della superficie ®, che partono da un 
punto qualunque della curva L, sono le intersezioni dei piani tangenti di X che pas- 
sano per quel punto, così le traccie di quelle generatrici, sul piano x', saranno 
i tre vertici, di un triangolo circoscritto alla conica c'. Perciò nella curva / si 
debbono potere inserivere infiniti triangoli ognuno dei quali sia circoscritto alla 
conica c'. 
14. Il caso più semplice che si presenta è quello in cui la curva / è una 
conica. In allora la superficie ® è del quarto grado (7) e la linea tripla L è ma- 
nifestamente una retta (‘). Di qui si deduce subito che se m è l’ordine della 
curva tripla L, nel caso generale, la superficie ® è del grado 4m. 
Infatti la curva L taglierà in 4m punti la superficie del quarto grado che 
ammette come linea tripla una retta data e quindi vi saranno altrettante generatrici 
di ® che si appoggiano a quella retta. 
La superficie ® interseca un piano 7, tangente alla sviluppabile £, secondo una 
(1) Questa superficie del quarto grado è stata costruita, senza farne particolare accenno, al n. 2 
dove la relativa linea tripla è la retta X' Y” e le curve direttrici nei piani 7’ e 7” sono le coniche 
k' e k'" rispettivamente. La superficie medesima si può anche ottenere, indipendentemente dalle con- 
siderazioni attuali, come luogo delle rette che si appoggiano a due coniche (senza punti comuni) e 
ad una retta che incontra ciascuna di queste curve. 
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